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1、 第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连
2、续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束 定理2 (充分条件) 证： 若函数的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以函数在点可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到, 故有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理称为偏微分. 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时,及有近似等式: 机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体 例4.计算的近似值. 解: 设,则 取 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 2. 误差估计 利用 令 z 的绝对误差界约为 z 的相对误差界约为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形. 乘
5、除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差. 解： 故绝对误差约为 又 所以 S 的相对误差约为 计算三角形面积.现测得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 , 解: 由欧姆定律可知 ( 欧) 所以 R 的相对误差约为 0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 0.8 0.3; 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 . 相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , = 0.032 ( 欧 ) = 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结
6、束 求用欧姆 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 估计误差 绝对误差 相对误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八) 函数在可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 题 7 机动 目录 上页 下页
7、 返回 结束 4. 设 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 ) 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 答案: 作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; 8 ; 10 5. 已知 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 . 备用题 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 所以 同理 极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续 . 2) 3) 题目 目录 上页 下页 返回 结束 4) 下面证明可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令则 题目 目录 上页 下页 返回 结束
