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1、三次样条插值 问题 抛物线插值的误差比线性插值要小，是不是 插值多项式的次数越高，精度就越好？ NO! 例：在 5, 5 上考察 的Ln(x)。取 Ln(x) f (x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端点附近 的抖动越大，称为 Runge现象。 分段低次插值 q 分段低次插值 基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。 具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间； (2) 在每个小区间上作低次插值多项式； 优点：公式简单、 运算量小、稳定性好、收敛性 (3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。 缺点：节
2、点处的导数可能不连续，失去原函数的光滑性。 q 在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越 多越好。最简单的方法是用直线段将函数值点直接连接。 分段线性插值 n问题：已知 及 ，i=0,1,.,n 为x0, xn上的分段线性函数且满足 n计算公式 n余项公式 n收敛性 但不光滑！ 分段3次Hermite插值 已知 及 ， ， 为x0, xn上的分段3次多项式且满足 计算公式 收敛性 余项公式 分段3次Hermite插值 一阶光滑！而且实际工程中一般不知道 的值！ 三次样条函数 q 样条函数 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。 最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多
3、项式组成， 具有二阶连续导数。 设节点 a = x0 x1 xn-1 xn = b ，若函数 s(x)在a,b上有二阶连续导数，在每个小区间 xi , xi+1 上是三次多项式，则称其为三次样条函数。如果同时 满足 s(xi) = f (xi) (i = 0, 1, 2, , n)，则称 s (x) 为 f (x) 在 a , b 上的三次样条函数。 定义 三次样条插值 问题：已知 及 ，S(x)为xi- 1, xi上的不超过3次多项式，且满足 (1) 插值条件： (2) 连接条件: 三次样条函数的确定 节点： x0 x1 xn-1 xn 函数值：yi = f (xi) (i = 0, 1,
4、2, , n) 由定义可设： s(x) 满足：(i = 0, 1, 2, , n) 其中 为 xk-1 , xk 上的三次多项式，且满足 (k = 1, 2, , n) 边界条件 每个 sk(x) 均为三次多项式，有4个待定系数，所以共 有 4n 个待定系数，需 4n 个方程才能确定。前面已经 得到 2n +2 (n -1) = 4n 2 个方程，还缺 2 个方程！ (k = 1, 2, , n-1) q 实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求， 即所谓的边界条件。 边界条件 q 第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即 q 第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即 当 时，称
5、为自然边界条件，此 时的样条函数称为自然样条函数。 q 第三类边界条件：设 f (x) 是周期函数，并设 xn x0 是 一个周期，于是 s(x) 满足 q第四类边界条件（非扭结）：第一 二段多项式三次 项系数相同, 最后一段和倒数第二段三次项系数相同. 三次样条插值求解公式 n利用分段3次Hermite插值 n设 ，利用分段3次Hermite插值公式(含 未知mi)，使得插值条件和连接条件的连续性和一 阶光滑性满足； n由n-1个二阶光滑性约束条件和边界条件来求个待 定参数 ，转化为解三对角方程组( 一阶导数边界条件 ) 三次样条插值求解步骤 n由计算机数值求解的步骤 n由边界条件和插值条件列三对角方程组; n用追赶法解方程组求得 ; n判断插值点 x 在第i 个小区间; n 用第i 个小区间的三次样条插值多项式求插值. n例4.6 求满足下列数据的三次样条插值函数 S(x) n解法一（分析推导, 称为承袭法）; n解法二（待定系数法）; n解法三（用计算公式）. x-10 1 f (x)-10 1 f (x) 0-1
