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1、第六章 弯曲应力 沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民 第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 61 概述 62 弯曲正应力 63 弯曲切应力 64 梁的强度计算 65 提高梁强度的主要措施 66 弯曲中心 67 组合梁 6161 概述概述 一、平面弯曲 纵向对称面 P1 P2 P Paa AB F s M x x 二、纯弯曲 CD 图示梁 AB 段横截面上 只有弯矩，而无剪力，该段 梁的弯曲称为纯弯曲纯弯曲。 C A与BD 段横截面上即 有弯矩，又有剪力，该两段 梁的弯曲称为横力弯曲横力弯曲。 62 62 弯曲正应力弯曲正应力 一、纯弯曲时梁的正应力 实验观察 a b c d MM bd ac 纵向直线代表
2、一 层纤维，变形后为平行 曲线。每层变成曲面， 同层纤维变形相同。 下层纤维受拉伸长 ，上层纤维受压缩短； 层间变形连续，中间必 有一层即不伸长也不缩 短， 称为中性层中性层。 横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴中性轴。 基本假设 中性层 纵向对称面 中性轴 平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； 层间纤维无挤压。 变形几何关系 取一微段dx dx ab cd o1 k1k2 o2 o y 变形前变形后 变形物理关系 y y x z dA z 其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为 中性层变形后
3、的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道 中性轴的位置和中性层的曲率半径。 静力关系 横截面正应力满足如下关系 ： y y x z dA z 由： 必有 Sz=0 ，z 轴过截面形心。 由： C 必有 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。 y y x z dA z C 由 ： 其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度抗弯刚度。 于是得： y y x z dA z C 由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。 z z C C 令 上式可改写为 Wz 称为抗弯截面模量，抗弯截面模量，单位：m3。 上述分析是在平面假
4、设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 按平面假设分析，上面公式仍可使用。 矩形截面圆形截面环形截面 C z C z bd h/2 h/2 z d C D 例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。 A B C D 2m2m2m F=12kN FAFB zc a b 5 6 2 3 (cm) 解： 取AD， A FA D Fs MD (上面受拉) (拉) (拉) 例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 A B C D 0.3m0.3m0.2m P=20kNP=50kN
5、C 30 110 3080 解：画梁的弯矩图； 5.5kN.m 4kN.m z y2y1 确定中性轴的位置。 A B C D 0.3m0.3m0.2m P=20kNP=50kN C 30 110 3080 5.5kN.m 4kN.m z y2y1 截面形心主惯性矩： A B C D 0.3m0.3m0.2m P=20kNP=50kN C 30 110 3080 5.5kN.m 4kN.m z y2y1 D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受 压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉应 力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在B 截面的上边 缘。 A B C D 0.3
6、m0.3m0.2m P=20kNP=50kN C 30 110 3080 5.5kN.m 4kN.m z y2y1 A B C D 0.3m0.3m0.2m P=20kNP=50kN C 30 110 3080 5.5kN.m 4kN.m z y2y1 最大拉应力发生在B 截面的上边缘，最大压应力发生在 D 截面的上边缘。分别为 例3 图示矩 形截面梁，C 截面处有一直径d=40mm的圆孔， 试求该截面的最大正应力。 ABC 2m2m 80 40 40 40 解： 22 63 63 弯曲切应力弯曲切应力 横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必 有切应力。 一、矩形截面切应力 基本假设
7、： 截面上各点切应力与剪力同向； 距中性轴等距离各点的切应力相 等。 在梁上截一微段dx ，再在微段上用 水平截面mn 截一微元。 FsFs MM+dM 1 1 2 2 dx m n 1 dx 2 mn z y h/2 12 yy1 b dA FN1 FN2 12 dx mn y x z 平衡条件： yy1 b dA N1 N2 12 dx mn y x z 同理得 因 于是得 式中 为截面求应力那点到截 面边缘所围面积对中性轴的静矩。 C* b y y* h/2 h/2 z max 由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数 ，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力 最
8、大，上下边缘切应力为零。 二、其它截面切应力 工字型截面腹板的切应力 翼板 腹板 b z b1 max 式中b1为工字型腹板的厚度。 b b1 z max 为中性轴一側截面对中性 轴的静矩。 T型截面 max z max 圆形截面环形截面 max zz 例4 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求 截面的最大切应力和胶缝的切应力。 A B 2m2m 60 40 40 40 解： FA=6kNFB=6kN 64 梁的强度计算 梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力 强度条件。 正应力强度条件： 对于等截面梁 切应力强度条件： 简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即 矩形截面
9、圆形截面 环形截面 根据强度条件可进行下述工程计算： 强度校核； 设计截面尺寸； 确定容许荷载。 利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截 面。 梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点 处； 梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。 一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截 面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面， 剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。 例5 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应 力t=40MPa、容许压应力c =100MPa，容许切应力 =20MPa 。试校核该梁的强度。 A B 3m1m2m C D FB=30k
10、N C z 200 20030 30 解：求支座反力； 画内力图； FD=10kN M图 20kN.m 10kN.m 157.5 计算截面惯性矩； 10kN 10kN 20kN Fs图 C z 200 20030 30 157.5 A B 3m1m2m C D FB=30kNFD=10kN M图 20kN.m 10kN 10kN 20kN Fs图 10kN.m B 截面最大拉应力： B 截面最大压应力： C 截面最大拉应力： C 截面最大压应力： C z 200 20030 30 157.5 A B 3m1m2m C D FB=30kNFD=10kN M图 20kN.m 10kN 10kN 2
11、0kN Fs图 10kN.m 经比较可知，最大拉应力发生 在C 截面的下边缘；最大压应力发 生在B 截面的下边缘；最大切应力 发生在B 的左截面的中性轴上。 C z 200 20030 30 157.5 A B 3m1m2m C D FB=30kNFD=10kN M图 20kN.m 10kN 10kN 20kN Fs图 10kN.m 此梁安全 A B 3m 例6 图示工字形截面梁，已知容许正应力=170MPa，容许 切应力=100MPa ，试选择工字钢的型号。 3m2m C D 解：求支座反力； FB=29kNFD=13kN 画剪力图和弯矩图； M图 Fs图 13kN 17kN 12kN 12
12、kN.m 39kN.m 梁的强度主要由正应 力所控制，先按正应力强 度条件选择工字钢型号， 再用切应力强度条件进行 校核。 A B 3m3m2m C D FB=29kNFD=13kN M图 Fs图 13kN 17kN 12kN 12kN.m 39kN.m 由型钢表查选20a工 字钢，主要参数如下： 例7 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力 =10MPa，容许切应力=1.0MPa ，胶缝的容许切应力1 =0.4MPa，试确定容许荷载集度q。 A B 3m FA=1.5qFB=1.5q z 100 100 50 M图 Fs图 1.5q 1.125q 解：求支座反力； 画剪力图与弯矩图；
13、 按正应力强度条 件确定容许荷载； A B 3m FA=1.5qFB=1.5q 100 100 50 M图 Fs图 1.5q 1.5q z 按切应力强度条 件确定容许荷载； 1.125q A B 3m FA=1.5qFB=1.5q 100 100 50 M图 Fs图 1.5q 1.5q z 1.125q 按胶缝切应力强度 条件确定容许荷载； 例8 图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力 =10MPa，容许切应力=2MPa 。试校核该梁的强度。 A B 3m1m FA=5kN d FB=10kN 解：求支座反力； 画剪力图和弯矩图； Fs图 M图 5kN 3kN 7kN 1.25m
14、3kN.m 3.125kN.m 最大正应力发生在距A 端 1.25m截面的上下边缘； 最大切应力发生在B 的左 截面的中性轴上。 A B 3m1m FA=5kN d FB=10kN Fs图 M图 5kN 3kN 7kN 1.25m 3kN.m 3.125kN.m 此梁安全。 65 65 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 梁的设计主要依据正应力强度条件，即 由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大 弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑。 一、选择合理的截面形状 梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积 相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。 下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。 z h b C a a C z d z C 矩形截面比方形截面好 方形截面比圆形截面好 z z z 以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分 布，当上下边缘的应力达
