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1、应力与应变分析应力与应变分析 第第 八八 章章 辅辅 助助 学学 习习 资资 料料 重重 点点 与与 难难 点点 分析结构危险点的应力时，了解该点的应力状态是关键。在该处截取分析结构危险点的应力时，了解该点的应力状态是关键。在该处截取 单元体时，应取两个横截面为其中一对平面，因为横截面上的应力可用已单元体时，应取两个横截面为其中一对平面，因为横截面上的应力可用已 知的公式计算。知的公式计算。 平面应力状态下，过一点的所有截面中，必有一对相互垂直的截面是平面应力状态下，过一点的所有截面中，必有一对相互垂直的截面是 主平面。主平面上切应力为零。主平面。主平面上切应力为零。 平面应力状态下，过一点的
2、所有截面中，必有一对相互垂直的截面是平面应力状态下，过一点的所有截面中，必有一对相互垂直的截面是 切应力取极值的平面（有的教材中称之为主切平面）。主切平面与主平面切应力取极值的平面（有的教材中称之为主切平面）。主切平面与主平面 成成 4545 角。主切平面上的正应力为两个主应力的平均值。角。主切平面上的正应力为两个主应力的平均值。 但上述切应力的极值并不一定是该点处的最大切应力。最大切应力应但上述切应力的极值并不一定是该点处的最大切应力。最大切应力应 是第一主应力与第三主应力之差的一半。是第一主应力与第三主应力之差的一半。 应变的计算方式与应力计算对应。注意切应变代替切应力时总带有一应变的计算
3、方式与应力计算对应。注意切应变代替切应力时总带有一 个个 的系数。的系数。 广义广义 Hooke Hooke 定律应用中，仅是正应力不影响同一坐标系下的切应变，定律应用中，仅是正应力不影响同一坐标系下的切应变， 切应力不影响同一坐标系下的正应变。不可一般地理解为正应力不引起切切应力不影响同一坐标系下的正应变。不可一般地理解为正应力不引起切 应变。应变。 从应力计算斜方向上的应变时，可以先用广义从应力计算斜方向上的应变时，可以先用广义 Hooke Hooke 定律计算出沿坐定律计算出沿坐 标轴方向的应变，再利用斜方向上的应变公式算出指定方向上的应变；也标轴方向的应变，再利用斜方向上的应变公式算出
4、指定方向上的应变；也 可以利用斜方向上的应力公式先算出两个相互垂直的指定方向上的应力，可以利用斜方向上的应力公式先算出两个相互垂直的指定方向上的应力， 再在斜方向上用广义再在斜方向上用广义 Hooke Hooke 定律计算应变。两种计算的结果是一致的。广定律计算应变。两种计算的结果是一致的。广 义义 Hooke Hooke 定律可以用于各向同性体中的任意方向。定律可以用于各向同性体中的任意方向。 在解释杆件受拉、受压、受扭破坏形式的时候应注意两方面：一是构在解释杆件受拉、受压、受扭破坏形式的时候应注意两方面：一是构 件的主应力和最大切应力，一是材料的抗拉和抗剪的能力。件的主应力和最大切应力，一
5、是材料的抗拉和抗剪的能力。 纯剪状态是双向应力状态，其第一、第三主应力大小相等（数值与纯纯剪状态是双向应力状态，其第一、第三主应力大小相等（数值与纯 剪切应力相同），符号相反。主应力方向与纯剪切应力方向相差剪切应力相同），符号相反。主应力方向与纯剪切应力方向相差4545 。 是是 非非 判判 断断 自自 测测 题题 对于某个指定的点考虑斜截面上的正应力和切应力，当斜截面的倾斜程对于某个指定的点考虑斜截面上的正应力和切应力，当斜截面的倾斜程 度越来越大时，正应力越来越小，切应力越来越大。度越来越大时，正应力越来越小，切应力越来越大。 某点的主应力就是过该点的所有方位微元面上法向应力的极值。某点的
6、主应力就是过该点的所有方位微元面上法向应力的极值。 某点处某点处 x x = 5 = 5， y y = = 5 5 ， xyxy = 0 = 0，则该点的第一、第二和第三主应力依，则该点的第一、第二和第三主应力依 次是次是 1 1 = 5 = 5 ， 2 2 = = 5 5 ， 3 3 = 0 = 0 。 在上题所述的点上不存在切应力。在上题所述的点上不存在切应力。 某点处某点处 x x = 0 = 0， y y = 0 = 0 ， xyxy = 5 = 5，则该点处不存在正应力。，则该点处不存在正应力。 在上题所述的点上的第一、第二和第三主应力依次是在上题所述的点上的第一、第二和第三主应力依
7、次是 1 1 = 5 = 5 ， 2 2 = 0 = 0 ， 3 3 = = 5 5。 某点处某点处 x x ， y y ， xyxy 全都不为零，则该点一定处于双向应力状态。 全都不为零，则该点一定处于双向应力状态。 纯剪状态一定是双向应力状态。纯剪状态一定是双向应力状态。 在深海中放置一个小的立方钢块，钢块表面受到静水压力在深海中放置一个小的立方钢块，钢块表面受到静水压力 15 MPa15 MPa，此，此 钢块处于单向应力状态。钢块处于单向应力状态。 此钢块的三个主应力均为此钢块的三个主应力均为 15 MPa15 MPa。 此钢块的三个主方向必定是垂直于海平面和平行于海平面的。此钢块的三个
8、主方向必定是垂直于海平面和平行于海平面的。 在正应力取极值的微元面上切应力为零。在正应力取极值的微元面上切应力为零。 在切应力取极值的微元面上正应力为零。在切应力取极值的微元面上正应力为零。 在弯曲梁中，中性层上的点的正应力为零，上下边缘处的切应力为零。在弯曲梁中，中性层上的点的正应力为零，上下边缘处的切应力为零。 在圆轴扭转时，轴内只有切应力而没有正应力。在圆轴扭转时，轴内只有切应力而没有正应力。 铸铁棒扭转时，由于在与轴线成铸铁棒扭转时，由于在与轴线成4545的螺旋面上有最大的切应力，因此的螺旋面上有最大的切应力，因此 铸铁棒就沿这个螺旋面断裂。铸铁棒就沿这个螺旋面断裂。 在各向同性体的小
9、变形情况下，微元面上的正应力对该微元面方位的在各向同性体的小变形情况下，微元面上的正应力对该微元面方位的 角应变没有影响，切应力也不会引起微元面法线方向上的线应变。角应变没有影响，切应力也不会引起微元面法线方向上的线应变。 在各向同性体的小变形情况下，由于拉伸杆中各横截面上只有正应在各向同性体的小变形情况下，由于拉伸杆中各横截面上只有正应 力而没有切应力，因此杆中不会有切应变产生。力而没有切应力，因此杆中不会有切应变产生。 在各向同性体的小变形情况下，应力主方向与应变主方向是重合的。在各向同性体的小变形情况下，应力主方向与应变主方向是重合的。 矩形薄板的四个边沿上承受垂直于边沿的均匀拉力，则拉
10、力大的方矩形薄板的四个边沿上承受垂直于边沿的均匀拉力，则拉力大的方 向上变形大，拉力小的方向变形小；这一点对各向同性体和各向异性体向上变形大，拉力小的方向变形小；这一点对各向同性体和各向异性体 都是正确的。都是正确的。 A A MM T T 例例 如图直径如图直径 d d = 20 mm = 20 mm 的实心圆柱承受的实心圆柱承受 弯曲和扭转的双重作用。在弯曲和扭转的双重作用。在 A A 点处由单纯点处由单纯 弯矩作用引起的正应力为弯矩作用引起的正应力为120 MPa 120 MPa ，而而 A A 点处的最大正应力为点处的最大正应力为 160 MPa160 MPa。求扭矩求扭矩 T T 的
11、大小的大小。 最大正应力最大正应力 由之可得由之可得 典典 型型 习习 题题 解解 答答 45 例例 厚度为厚度为15 mm15 mm、内径为内径为 0.75 m 0.75 m 的圆筒的圆筒 由带钢焊制而成，焊缝与轴线间的夹角为由带钢焊制而成，焊缝与轴线间的夹角为 4545，现圆筒有内压现圆筒有内压 8 MPa8 MPa，求焊缝上的正求焊缝上的正 应力和切应力。应力和切应力。 轴向应力轴向应力 周周向应力向应力 45 45 方向上的正应力和切应力分别为方向上的正应力和切应力分别为 q q y y q q x x 例例 厚度为厚度为 2 mm 2 mm 的正方形板在水平和竖的正方形板在水平和竖
12、直两个方向受到均布荷载和的作用。在对直两个方向受到均布荷载和的作用。在对 角线上的应变片读数为角线上的应变片读数为 150 150 。若已知弹。若已知弹 性模量性模量 E E = 40 GPa = 40 GPa，泊松比，泊松比 = 0.25= 0.25，水平，水平 荷载荷载 q q x x = 50 N/mm = 50 N/mm，求，求 q q y y 的大小。的大小。 易得易得 故故 （压）（压） a a b b c c 1515 d d 例例 试求：试求：（1 1）如图应变片如图应变片 d d 的理论读数；的理论读数；（ 2 2）材料的弹性模量材料的弹性模量 E E = 200 GPa =
13、 200 GPa，泊松比泊松比 为为 0.30.3，不考虑垂直于测试平面方向上的应变，求不考虑垂直于测试平面方向上的应变，求 该处平面内的主应力。该处平面内的主应力。 a a b b c c 1515 d d 主应变主应变 主应主应力力 例例 证明图中平板证明图中平板 A A 处应力为零。处应力为零。 A A 在两个斜截面上，正应力和切在两个斜截面上，正应力和切 应力均为零，故应力矢量应力均为零，故应力矢量 p p 为零。为零。 故故 A A 处应力为零。处应力为零。 1 1 2 2 A A P P H H t t 3030 例例 如图的漏斗状薄壁件上端有力作用，下如图的漏斗状薄壁件上端有力作
14、用，下 端用胶与刚性固定物粘结。胶的许用拉应力端用胶与刚性固定物粘结。胶的许用拉应力 为为 ，许用切应力为，许用切应力为 ， 为使胶层不致为使胶层不致 于脱开，荷载于脱开，荷载 P P 的值最大允许为多少？的值最大允许为多少？ q q t t 在底部取一微元体如图，由力平衡得胶在底部取一微元体如图，由力平衡得胶 层上的正应力层上的正应力 x x y y q q y y n n 建立如图的坐标系建立如图的坐标系 x x y y q q y y 胶层上的切应力胶层上的切应力 故有故有 n n x x y y y y n n P P H H t t 3030 注意到图形的对称性，建立如图坐标系注意到图形的对称性，建立如图坐标系 例例 某点应力状态如图，已知一个主某点应力状态如图，已知一个主 应力为应力为 5 5q q，求其它的主应力和，求其它的主应力和 。 如图坐标系是主轴坐标系。如图坐标系是主轴坐标系。 结果不合理结果不合理 消去消去 ，可得，可得 2 2q q 2 2q q 2 2q q 2 2q q x x y y 2 2q q 2 2q q x x y y 2 2q q 2 2q q x x y y y y 2 2q q 2 2q q
