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1、第八章 位 移 法 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 8-6 对称性的利用 8-7 有侧移的斜柱刚架 8-8 温度变化时的计算 8-1 概述 8-1 概 述 位移法：先确定某些位移，再推求内力。 图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将 结构分解如图b、c。 思路：将结点1的角位移Z1 作为基本未知量，求 出Z1，进而求出各杆 内力。 需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移
2、 8-2 等截面直杆的转角 位移方程 图a所示两端固定的等截面梁， 两端支座发生了位移。取基本结构如 图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不考虑， 只需求解X1、X2。 符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正； AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。 力法典型方程为 作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。 由图e可得 AB弦转角，顺时针方向为正。 解典型方程得 8-2 等截面直杆的转角 位移方程 令杆件的线刚度 MAB=X1，MBA=X2，可得 固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。 当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时， 其杆端弯矩为
3、转角位移方程 8-2 等截面直杆的转角 位移方程 对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有 不是独立的 杆端弯矩杆端剪力 8-2 等截面直杆的转角 位移方程 8-3 位移法的基本未知量 和基本结构 基本未知量：结点的角位移、线位移。 1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架 独立结点角位移数目为2。 2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。 确定独立的结点线位移另种一方法 把原结构的所有刚结点和固定支座
4、均改为铰结点铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。 图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根 水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。 这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。 8-3 位移法的基本未知
5、量和基本结构 图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2） 结点线位移数目=2 加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 图a所示刚架，结点线位移数目=2 图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B加 一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二者 的位移完全一致了。 附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷载引起的） 原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0 基本结构在荷载和Z1共同作
6、用下的体系称为基本体系，如图b。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 设r11表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。 可得 位移法基本方程 系数 自由项 作及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。 由a图，取结点B为隔离体，由MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由MB=0，可得R1P=-24kNm 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将 r11和R1P代入方程求出 结构的最后弯矩图由叠加法绘制 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。 由图c、d、e可得 8-4 位移法的典型方
7、程及计算步骤 r11、r12分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。 r21、r22分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得 位移法典型方程 物理意义 基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每 一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。 原结构的静力平衡条件 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数和自由项代入典型方程并求解，可得 结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： 内力图校核同力法，略。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 位移法计算步骤 （1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线
8、位移，加入附加 联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。 （5）绘制最后弯矩图：用叠加法。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下 主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 典型方程 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩结构的刚度系数； 位移法典型方程结构的刚度方程；位移法
9、刚度法。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。 解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。 典型方程为 设则iAB=3i，iBC=i 绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 代入典型方程解得 由 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。 解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。 典型方程为 设 则 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 绘弯矩图c、d。
10、取结点C为隔离体。 代入典型方程解得由 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。 如图b，由结点1的力矩平衡条件M1=0 如图c，由隔离体的投影平衡条件Fx=0 设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得 由平衡条件可得 Z1、Z2 各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 8-6 对称性的利用 图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用 下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基本 未知量，如图c。 图b利用对称性简化为图d。
11、 图c利用对称性简化为图e。 用位移法求解用力法求解 8-6 对称性的利用 图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称荷 载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。 荷 载位移法基本未知量数目力法基本未知量数目 正对称3（采用）6 反对称63（采用） 8-6 对称性的利用 例8-3 试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的EI=常数。 解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图b，基本体系如图c 典型方程为 8-6 对称性的利用 绘弯矩图d、e、g。 解得 由 8-7 有侧移的斜柱刚架 图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、 D是不动的。
12、B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。 C点：BC杆平移至BC，CC=BB。 C在垂直BC方向上运动， 作CC垂直于BC。 同理，作CC垂直于DC。 CC与CC的交点C即C位移后的位置。 在图b中任选一点O为不动点极点，AD与O重合。 作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD 的垂线，得交点C。 AB：代表AB杆的相对线位移 BC：代表BC杆的相对线位移 CD：代表CD杆的相对线位移 结点位移图 8-7 有侧移的斜柱刚架 例8-4 试用位移法计算图a所示刚架。 解： 基本体系如图b所示。典型方程为 令其余杆线刚度如图b及 MP图如图c、d 8-7 有侧移的斜柱刚架 设则结点位移
13、图如图e 附加链杆上反力的计算如图g。 图如图f 计算可得 由MO=0有 8-7 有侧移的斜柱刚架 将系数和自由项代入典型方程，可得 叠加原理绘弯矩图 8-8 温度变化时的计算 例8-5 绘图a所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的EI=常数，截 面为矩形，其高度h=l/10，材料的线膨胀系数为。 解： 刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移Z2。基本体系 如图b所示。 典型方程为 8-8 温度变化时的计算 及 图如图c、d 8-8 温度变化时的计算 为便于计算，将杆件两侧的温度变化t1和t2对杆轴线分为 正、反对称两部分，如下图。 平均温度变化 温度变化之差 8-8 温度变化时的计算 （1）平均温度变化如图e 可求得各杆两端相对线位移为 查表得各杆端相固端弯矩为 8-8 温度变化时的计算 （2）温度变化之差如图f 此时各杆并不伸长或缩短， 查表计算各杆固端弯矩为 总的固端弯矩为（1）+（2） 8-8 温度变化时的计算 可绘Mt图如图g。 可求得 将系数和自由项代入典型方程解得 叠加原理绘弯矩图 M图
