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1、2.4 麦克斯韦速率分布律（ Maxwells law of distribution of speeds） 描述气体分 子的无规则 热运动 全同粒子，按位置 分布是均匀的 如何描述分子的速 率和速度 二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 无外场的平衡态（T）下， 分子速率分布函数为： 不同温度 质量下， 分子按速 率的分布 函数。 在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比 什么含义 当 6 23 10)800( /800,273,102 - - = = f smVkTgm 举例：调查成年人的身高分布情 况，并描述之 将所有人
2、的身高一 一罗列 第一无统计意义（ 分布） 第二无统计规律（ 描述） 统计抽样调查方法 100人 m 1.50-1.55m的人数130 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 总人数1380 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 两个问题 纵坐标数字仅对该次调查有效 ，不能反映总体情况
3、横轴纵轴不 一一对应 无法得出任 意区间的人 数 身高1.53的人不 是13000 ?1.53-1.55的人 数 比如 统计图应该： 在h-h+h身高区间，单位 身高的人数 例如：13000/（1.55- 1.50)=2600人/cm 在h-h+dh身高区间，即h高度处单位身高 的人数占总人数之比 平均速度与 瞬时速度的 关系 在h-h+dh身高区间，即h高度处单位身高 的人数 人群按身高的分布函数 二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 无外场的平衡态（T）下， 分子速率分布函数为： 分子数按速率的分布函数,是用同一尺度 ，-单位速率间隔和百分比来谈分
4、布的 ，它避免了分子数N和速率间隔的大小 对分布的影响 在v-v+dv速度区间，即速度v处单位速度 区间分子数占总分子数之比 在v-v+dv速度区间，即速度v处单位速度 区间的分子数 速度区间v-v+dv的分子数 速度区间v1-v2的分子数 问题17：列式求速率在700m/s- 800m/s分子数占总分子数的比率 f(v) 0v v +dv T，m 一定 v m 气体分子的质量 归一化条件 曲线下面的总面积等于1。 在左图上的几何意义为： 三. 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（most probable speed） f(v) 0 vp T，m 一定 v 处在最概然速率 v p 附近 的
5、分子数占总分子数的百分比最大。 如图示 分立情况下： 连续情况下： vi v，Ni dNv=N f (v)dv， 2.平均速率（average speed） 平均速率 对麦氏速率分布经计算得： 规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得： （与前同） 排序 ： 3. 方均根速率（root-mean-square speed） （麦） 讨论分子平均平动动能时用； 讨论分子碰撞问题时用； 讨论分子的速率分布时用。 例18 设某气体的速率分布函数 求： （1）常量 a 和 v0 的关系 （2）平均速率 vv0 0 为 解： （1）归一化条件 （2）设总分子数为N，
6、则 （3） 对否？ 不对！ 上式分母上的N应为 例19 容积为30L的容器内，装有20g 气体，容器内压强为0.5大气压，求 气体分子的最概然速率 例20 求温度为300K时 ，氮气分子的平均速 率，方均根速率 大气的组成 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦 ，但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了 地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球 大气中已没有氢和氦了。但N2和O2分子的方均 根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有 大量的氮气 (大气质量的76%)和氧气(大气 质量的23%)。(h2方均根速率,1900m/s) L 金属 蒸汽 方向选择方向选择 速率选择器 屏
7、v t = L L v 1 21 v = t = , tt =令 得： 2 通过改变可获得不同速率区间的分子。 2.分子速率分布的测定斯特恩实验 100200 速率区间(m/s) 百分数 200300 300400 400500 500600 600700 700800 800900 900 100 分 子 实 速 验 率 数 分 据 布 的 20.6 % 1.4 % 8.1 % 16.5 % 21.4 % 15.1 % 9.2 % 4.8 % 2.0 % 0.9 % 1859年麦克 斯韦从理论上 得到速率分布 定律。 1920年斯特 恩从实验上证 实了速率分布 定律。 % 0 100 200
8、 300 400 500 600 700 800 900 % 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 实验曲线: 六. 气体分子的平均自由程（mean free path） 汽油瓶问题: 1858年克劳修 斯研究声音和 气体分子速率 是同数量级的, 但声音和气味 却不能同时到 达 粒子走了一条 艰难曲折的路 线度 10-8m 碰撞规律 使气体 由非平 衡态 平衡态 实现 能量 均分 使分 子速 度有 稳定 分布 气体分子自由程 线度 10-8m 一个分子连续两次碰 撞之间经历的平均 自 由路程叫平均自由程 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率
9、 单位时间内分子经历的 平均距离 ，平均碰撞 次 设分子 A 以相对平 均速率 运动，其 它分子可设为静止. 平均碰撞频率 (mean collision frequency) 2d d n 单位时间内分子 A 走 u ， 相应的圆柱体体积为 ， 则 碰撞截面 运动方向上, 以 d 为半径 的圆柱体内的 分子都将与分 子A碰撞.该圆 柱体的面积 就叫碰撞截面 统计理论可计算 所以 二、真空的概念理论公式表明 但容器的线度l 实际分子的平均自由程就是容器的线度l 微观上的真空与压强无关 时 例21 直径5厘米的容器 内部充满氮气,真空度 10-3 Pa 已知氧分子有效直径d=3.7*10-10m
10、) 求: 常温(293K)下平均自由程的理论计算值 解： 例22 求常温常压下（300K，1.013*105Pa)氧 气分子的 ，已知氧分子有效直径 d=2.0*10-10m) 2.10 气体的输运过程 气体的输运过程 输运过程：气体由非平衡态过渡到平 衡态的过程 非平衡态： 系统各部分物理 性质不均匀 物理量热运动形式输运过程物理现象 定向速度交换动量动量输运粘滞现象 密度交换质量质量输运扩散现象 温度交换能量能量输运热传导现象 输运过程与物理性质不均 匀程度及气体分子热运动 程度有关 1、粘滞现象与动量输运 （1）为什么交换动量，会产生内摩擦力 Vb Va VbVa 列车A、B速度 分别为
11、为Va、 Vb，并排行驶， 特殊机械以 的速率将A、B 的物质互换，求 额外加多大力使 A、B速度不变 解：对A，设速度方向为正方向 单位时间获得冲量 =单位时间获得动量减失去动量 由于交换物 质A受反向， B受正向，大 小为 的力。 (2)牛顿粘滞定律 （3）微观分析 由于分子热运动，不同流层分子相 互交换，同时所携带的定向速度、定向 动量也进行了交换。 麦克斯韦用分子碰撞理 论和平均自由程的理论 ，得到 麦曰：“从数学理论导 出的这个结论是极其令 人莫名其妙的” 与n无关 扭摆在几十种气压 下做阻尼振动，振 动频率与气压无关 ，理论符合试验 2、扩散现象与质量输运 扩散现象:分子密度不同时，分子由密度大处 移向密度小处 扩散系数 3、热传导现象和能量输运 温度不均匀时，热量从较高处传递到较低处 热传导系数 微观 系数 宏观 公式 分子所携带热量 的迁移 分子所携带动量 的迁移 分子质量的迁 移 实质 热传导粘滞扩散 例23：测得标态下氮气， 试求分子自由程与原子半径
