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1、4.4 幺正变换 和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子 态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学 中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们 联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可 以用表象变换把它们联系起来。而且，物理规律应当具有 协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标系无 关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表 象无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对 应的力学量时的观测值，是实验测量所得到的值。 设算符 的正交归一本征函数系为 ，算 符 的正交归一本征函数系为 ，则算符 在 表象中的矩阵元为： （4.4.1） 4.4
2、幺正变换 （4.4.2） 在 表象中的矩阵元为： （4.4.4） （4.4.3） 为找出 表象和 表象之间的关系，将 表象中的本征函 数 及 按 表象的本征函数系展开 （4.4.5） 其中 （4.4.6） 4.4 幺正变换 （4.4.8） （4.4.7） 写成矩阵形式 4.4 幺正变换 （4.4.10） （4.4.9）或简写为 以 为矩阵元的矩阵 称为变换矩阵。这个矩阵把 表 象的基矢 变换为 表象的基矢 。 （4.4.11） 下面我们讨论变换矩阵 一个基本性质： 4.4 幺正变换 是单位矩阵。 （4.4.12）或写成 由 （4.4.13） （4.4.14） 再将 按 展开 将（4.4.14）
3、式代入（4.4.13）式得 4.4 幺正变换 即 （4.4.15） （4.4.16） 满足上式得矩阵称为幺正矩阵。由幺正矩阵所表示的变 换称为幺正变换。所以，从一个表象到另一个表象的变 换为幺正变换. 利用（4.4.12） 和（4.4.16），我们得出结论：两个表象之间 的变换矩阵 满足 （4.4.17） 4.4 幺正变换 现在我们讨论幺正变换下算符、波函数和本征值的变化。 1.算符的变换 在 表象中，算符 的矩阵元是 ，在 表象中， 算符 的矩阵元是 ，它们两者之间的关系是 （4.4.18） 上式写成矩阵形式是 或 （4.4.19） （4.4.20） 4.4 幺正变换 2.波函数的变换 （4
4、.4.21） 考察波函数 从 表象到 表象的变化。将 分别按 表象和 表象的本征函数系 及 展 开： （4.4.22） 在 表象和 表象的表示分别为两个列矩阵： （4.4.23） 4.4 幺正变换 （4.4.24） 利用（4.4.4）、 （4.4.21） 、 （4.4.22）和本征函数系 的 正交归一性，得 上式写成矩阵形式 或 （4.4.25） （4.4.26） 4.4 幺正变换 3.幺正变换不改变算符的本征值 设 在 表象中的本征值方程为 （4.4.27） 为相应的本征值。作表象变换，使得从 表象经过一 个幺正变换 换到 表象，由于 ， 因 此在 表象中，算符 相应的矩阵 满足 （4.4.
5、28） 所以，表象变换不改变算符 的本征值。 利用这个性质，又找到了另一个求算符本征值的方 法。前面曾证实，算符在自身表象中对应对角矩阵，而且 4.4 幺正变换 对角线上的元素就是它的本征值。现在又证明了表象变换 不改变算符的本征值。因此如果通过表象变换，使算符变 回到自身表象，或者说，通过一个幺正变换 ，使得并不 对角化的 矩阵，变成对角化的 矩阵，则 矩阵对角线上的元素，就是相应的本征值。于是，求本征 值的问题就归结为使矩阵对角化的问题。 为此，必须探讨一下要使 对角化的幺正变换 倒 底如何选取？为使 对角化，必须 （4.4.29） 或写作（4.4.30） 4.4 幺正变换 在方程（4.4
6、.30） 式的两边同时乘上 后，在对 求和得 （4.4.31） 利用 的幺正性 ，即 ，代入上式 ，得 （4.4.32） 其矩阵形式为 （4.4.33） 4.4 幺正变换 （4.4.33）表明， 矩阵的第 列正是算符 对应于本征值为 的本征函数。因此，一般说来，要使算符 对应的矩阵对角 化，就要求出 对应得的本征函数系，然后把对应于不同 本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵 ，则 必 为对角阵。 例：设算符 在某一表象 中的矩阵为 其中 为常数，求： （1） 的本征值和在 表象中的正交归一本征函数； （2）求使矩阵 对角化的幺正变换 。 4.4 幺正变换 上式有非平庸解的条件是 解：（1） 在 表象中的本征方程为 即 或写作 （1） 解得 利用归一化条件 得： 4.4 幺正变换 将 代入方程（1）可得： 同理，当 时，代入方程，得： 则本征函数为 则 4.4 幺正变换 （2） 为找出能使矩阵 对角化的幺正矩阵 ，我们将本 征函数 、 列排列，得： 所以
