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1、8 8 直纹二次曲面直纹二次曲面 几何学几何学 Chapter Chapter 3 3 ContentsContents 一、一、直纹曲面的概念直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质 平面、柱面、 锥面有什么共 同的特征呢? 一、直纹曲面的概念一、直纹曲面的概念 柱面和锥面都是直纹曲面；柱面和锥面都是直纹曲面； 椭球面不是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面； 定义定义 由一族直线所生成的曲面叫做由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面直纹曲面( (ruled sur
2、faceruled surface) )， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线一族直母线. . 椭圆抛物面不是直纹曲面不是直纹曲面. . 平面是直纹曲面；平面是直纹曲面； 双叶双曲面不是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面； 有没有更复杂的直 纹曲面呢？有哪些 二次曲面可能是直 纹曲面呢? 例例(p56(p56例例3.9)3.9) 求直线求直线 绕直线绕直线 旋转所旋转所 得的旋转曲面的方程得的旋转曲面的方程. . 单叶旋转双曲面 Back 直纹曲面模型直纹曲面模型 直纹曲面模型直纹曲面模型 单叶双曲面单叶双曲面 二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面
3、 如果曲面如果曲面 S S 上存在一族直线，上存在一族直线， (2)(2) 直线族中的每条直线都在曲面直线族中的每条直线都在曲面 S S 上上. . (1)(1) 曲面曲面 S S 上的每个点必定在这个上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上族中的某一条直线上; ; 分析分析: : 推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线 通过这点. Back O O x x z z y y 三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面 双曲抛物面 悉尼歌剧院悉尼歌剧院 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质 定理3.6 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物 面上异族的任意两直母线必相交. 定理3.7 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是 异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面. 例题 例例1 1 求过单叶双曲面求过单叶双曲面 上的点上的点 的直母线的方程的直母线的方程 . . 分析分析: : 将将（6 6，2 2，8 8）代入上述直母线族方程，代入上述直母线族方程， 求得求得 w , u , t , v.w , u , t , v. P77 3,4,5
