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1、江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. 函数的导数是_【答案】【解析】试题分析：由题：考点：导数的运算2. 若，则_（用数字作答）【答案】55【解析】分析：利用组合数的性质求出，进而可得结果.详解：因为，所以， ，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的性质与基本运算，属于基本题.3. 设曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为_【答案】【解析】由函数的解析式可得：，则函数在处的切线斜率为，结合直线平行的结论可得：，解得：.4. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，
2、黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为_【答案】【解析】分析：根据这个路口的指示灯的总时间,已知绿灯的时间，利用几何概型的计算公式，计算可得答案.详解：根据题意，这个路口的指示灯的总时间为秒，其中有秒是绿灯时间，则到达路口时，遇到绿灯的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查长度型几何概型，属于简单题，可直接绿灯的时间除以总时间求解.5. 函数的单调减区间是_【答案】【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主
3、要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.6. 函数的极大值是_【答案】【解析】函数的定义域为，且，列表考查函数的性质如图所示：单调递增极大值单调递减极小值单调递增则当时函数取得极大值：.7. 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为_【答案】【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法
4、，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.8. 设函数的导函数为，若，则_【答案】105【解析】结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：，据此可得：.9. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 _个（用数字作答）【答案】300【解析】分析：分两种情况讨论：三位数中没有一个偶数数字，三位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下三位数的数目，由分类计数原理计算可得答案.详解：三位数中没有一个偶数数字，即在种任选三个
5、，有种情况，即有个沒有一个偶数数字三位数；三位数中只有一个偶数数字，在种选出两个，在中选出一个，有种取法，将取出的三个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的三位数，所以至多有一个数字是偶数的三位数有个，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10. 已知函数在区间上不是单调函数
6、，则实数的取值范围是 _【答案】【解析】分析：求出函数的单调区间，找出函数的极值点，令极值点在区间内，得到关于的的不等式，从而可求出的范围.详解：或函数在递增，在递减，因为函数在区间上不是单调函数，或，或，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.11. 已知两曲线，相交于点P，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值是_【答案】【解析】分析：联立两曲线方程，可得，设交点，分别求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之
7、积为，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到值.详解：由，即，即有，设交点，的导数为的导数为，由两曲线在点处的切线相互垂直，可得，且，则，分子分母同除以，即有，可得，解得或（舍去），故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义，同角三角函数之间的关系以及两直线垂直斜率之间的关系，属于难题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.12. 某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）_【答案】【解析】设饮料罐的底面半径为，高为，由题意可得：，故，圆柱
8、的表面积：，当且仅当，即时等号成立，据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.13. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是_【答案】【解析】分析：将问题转化为被.斜率为且与相切的直线与直线 截得的弦长求解即可.详解：设与平行且与相切的直线的切点为，因为，切点为，切线方程为，长度的最小值就是被
9、与截得的弦长，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及转化与划归思想，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有四个不同的解，则实数的取值所构成的集合为_【答案】【解析】分析：关于的方程有且只有四个不同的解等价于等价于直线与有四个不同的交点，画出，画出与的图象，利用数形结合可得结果.详解：关于的方程有且只有四个不同的解，等价于直线与有四个不同的交点，直线过定点，斜率为，当直线与相切时，由，令可得斜率；当直线相切时，
10、由可得斜率；同理，当直线相切时，斜率，画出与的图象，如图，由图知，或时，与有四个交点，此时关于的方程有且只有四个不同的解，故答案为.点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区
11、域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）四名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【答案】（1）1440（2）576（3）3720（4）840【解析】分析：（1）采取“插空法”可得结果；（2）采取“捆绑法”可得结果；（3）分“甲在右端”、“甲不在两端”两种情况讨论，然后求和即可；（4）先把七个人全排列，
12、再除以即可.详解：（1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 .点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16. 设关于x的一元二次方程x22axb20，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率(1)若随机数a，b1,2,3,4,5；(2)若a是从区间0,5中任取的一个数，b是从区间0,4中任取的一个数【答案】（1）（2）【解析】【详解】分析：(1)利用列举法
13、可得随机数的基本事件共有25个，方程有实根包含15个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；(2) 是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，坐标系内所在区域是矩形，方程有实根，坐标系内所在区域是直角梯形，利用几何概型概率公式求解即可.详解：设事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab. (1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4
14、)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含15个基本事件，故事件A发生的概率为P(A) (2) 试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a5,0b4构成事件A的区域为(a，b)|0a5，0b4，ab，概率为两者的面积之比，所以所求的概率为P(A)点睛：本题主要考查古典概型概率公式与几何概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17. 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为.(1) 求的极值；(2) 设，若在(，1上是增函数，求实数k的取值范围【答案】（1）极大值，无极小值（2）1，)【解析】分析：（1）由曲线在点(0，)处的切线斜率为，利用导数的几何意义，列方程求出的值，列表判断导函数的符号，从而可得结果；（2）在上是增函数，等价于由题知在上恒成立，即在上恒成立，求得，可得.详解：(1) f(x)的定义域是(，2)，f(x)a. 由题知f(0)a，所以a
