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1、2.2.2 二次函数的图象和性质 诸城六中:王国伟 二次函数是初等函数中的重要函数 ,在解决各类数学问题和实际问题中有着 广泛的应用。在高中数学的学习中对二次 函数的知识要做必要的提高和加深,二次 函数与一元二次方程、一元二次不等式的 关系十分密切,揭示和认识它们的相互联 系,以求相互为用,具有重要的意义。 学习二次函数,首先要掌握它的定义 、图象和性质,要会在各种条件下,应用 待定系数法确定二次函数的解析式,要灵 活应用二次函数的图象和性质分析问题和 解决问题。深刻领会数形结合、函数方程 等重要数学思想方法,对拓宽学生解题思 路、发展智力、培养能力,具有十分重要 意义。 函数y=ax2+bx
2、+c (a0) 叫做二次函数,它 的定义域是R. 特别地,当b=c=0时,则二次函数变为 y=ax2(a0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线,a0时,开口向上;a0时,抛物线开口向上,在x=h处 取最小值ymin=k=f(h);在区间(, h上是 减函数,在h, +)上是增函数. (3)当a0,所以a+b+c0, f(1)0,所以ab+c0, 1,a2a,2a+b0; 2ab0, 抛物线的开口向上. (2)原函数整理得y=x24x+3=(x2)21. 所以当x=2时,ymin=1. 单调增区间为2, +), 单调减区间为(, 2. 例6. 已知函数f(x)=x24x+1,不计算函数 值,比较
3、f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。 解: f(x)=x24x+1=(x2)23, 对称轴是x=2,在区间2, +)上是增函数. f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5), f(1)=f(21)=f(2+1)=f(3), 所以f(1)f(4)0 时,f(x)=x22x+3,求f(x)的解析式。 解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0, 当时x0, 所以f(x)=(x)22(x)+3 =x2+2x+3 又f(x)=f(x), 所以x0, 所以无论m为何值时,函数的图象与x轴总有 两个交点; (2)设方程的两个解分别为x1,x2, 则x1+x2=m,x1x2=m2, (x1x2)
4、2=(x1+x2)24x1x2 =m24m+8=(m2)2+4. 所以当m=2时,|x1x2|最小,最小值是2. 例9. 已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数),x 1,1, (1)若函数f(x)为偶函数,且f(1)=1,求a,b 的值; (2)若函数f(x)为奇函数,且f( )= ,求 f(x)的值域。 (1)若函数f(x)为偶函数,且f(1)=1,求a,b 的值; 解:因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数,所以b=0 , 又f(1)=1,所以a=1. f(x)=x2. (2)若函数f(x)为奇函数,且f( )= ,求 f(x)的值域。 解:函数f(x)为奇函数,则a=0,b=1, 所以f(x)=x, x1,1, 所以值域是1,1. 总结 v1、图像 v2、性质