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1、2.2.2 二次函数的图象和性质 诸城六中：王国伟 二次函数是初等函数中的重要函数 ，在解决各类数学问题和实际问题中有着 广泛的应用。在高中数学的学习中对二次 函数的知识要做必要的提高和加深，二次 函数与一元二次方程、一元二次不等式的 关系十分密切，揭示和认识它们的相互联 系，以求相互为用，具有重要的意义。 学习二次函数，首先要掌握它的定义 、图象和性质，要会在各种条件下，应用 待定系数法确定二次函数的解析式，要灵 活应用二次函数的图象和性质分析问题和 解决问题。深刻领会数形结合、函数方程 等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思 路、发展智力、培养能力，具有十分重要 意义。 函数y=ax2+bx
2、+c (a0) 叫做二次函数，它 的定义域是R. 特别地，当b=c=0时，则二次函数变为 y=ax2(a0). 它的图象是顶点为原点的抛物 线，a0时，开口向上；a0时，抛物线开口向上，在x=h处 取最小值ymin=k=f(h)；在区间(, h上是 减函数，在h, +)上是增函数. （3）当a0，所以a+b+c0， f(1)0，所以ab+c0， 1，a2a，2a+b0; 2ab0， 抛物线的开口向上. （2）原函数整理得y=x24x+3=(x2)21. 所以当x=2时，ymin=1. 单调增区间为2, +)， 单调减区间为(, 2. 例6. 已知函数f(x)=x24x+1，不计算函数 值，比较
3、f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。 解： f(x)=x24x+1=(x2)23， 对称轴是x=2，在区间2, +)上是增函数. f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(21)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)f(4)0 时，f(x)=x22x+3，求f(x)的解析式。 解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0， 当时x0， 所以f(x)=(x)22(x)+3 =x2+2x+3 又f(x)=f(x)， 所以x0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有 两个交点； （2）设方程的两个解分别为x1，x2， 则x1+x2=m，x1x2=m2， (x1x2)
4、2=(x1+x2)24x1x2 =m24m+8=(m2)2+4. 所以当m=2时，|x1x2|最小，最小值是2. 例9. 已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x 1，1， （1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b 的值； （2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求 f(x)的值域。 （1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b 的值； 解：因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0 ， 又f(1)=1，所以a=1. f(x)=x2. （2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求 f(x)的值域。 解：函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1， 所以f(x)=x， x1，1， 所以值域是1，1. 总结 v1、图像 v2、性质
