初中数学几何直观培养讲述

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1、初中数学教学中几何直观能力的初中数学教学中几何直观能力的 培养培养 初中部初中部 刘彩艳刘彩艳 20142014年年8 8月月2828日日 序序 n n 义务教育数学课程标准义务教育数学课程标准(2011(2011年版年版) )中指中指 出：出：“ “在数学课程中在数学课程中, ,应当注重发展学生的数应当注重发展学生的数 感、符号意识、空间观念、几何直观、数据感、符号意识、空间观念、几何直观、数据 分析观念、运算能力、推理能力和模型思想分析观念、运算能力、推理能力和模型思想 ” ” 序 n n 几何直观正成为数学教学研究中生动的、不几何直观正成为数学教学研究中生动的、不 断增长的而且迷人的课题

2、断增长的而且迷人的课题. . 序 n n 正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：“ “几何直观几何直观 能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和 可接近的，并使我们在课题、概念与方法的可接近的，并使我们在课题、概念与方法的 荒漠之中免于陷入歧途之苦荒漠之中免于陷入歧途之苦” ” 序 n n 在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观 来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识 几何直观在数学学习中的意义和作用，创造几何直观在数学学习中的意义和作用，创造 出属于自己的学习

3、方式，这是初中数学几何出属于自己的学习方式，这是初中数学几何 直观教学的核心所在那么，如何理解几何直观教学的核心所在那么，如何理解几何 直观？特别是在初中数学教学中，如何渗透直观？特别是在初中数学教学中，如何渗透 几何直观的意识和能力呢？几何直观的意识和能力呢？ n几何直观的含义及表现形式 n几何直观和其他概念的比较 n培养和发展学生几何直观能力的实践 n初中生几何直观能力培养的有效途径 几何直观的含义及表现形式 n n 标准标准指出：指出：“ “几何直观主要是指利用图形几何直观主要是指利用图形 描述和分析问题描述和分析问题. .借助几何直观可以把复杂的借助几何直观可以把复杂的 数学问题变得简

4、明、形象，有助于探索解决数学问题变得简明、形象，有助于探索解决 问题的思路，预测结果问题的思路，预测结果. .几何直观可以帮助学几何直观可以帮助学 生直观地理解数学，在整个数学学习过程中生直观地理解数学，在整个数学学习过程中 都发挥着重要作用都发挥着重要作用.”.” 几何直观的含义及表现形式 n n “ “几何直观是借助于见到的或想到的几何图形几何直观是借助于见到的或想到的几何图形 的形象关系，产生对数量关系的直接感知的形象关系，产生对数量关系的直接感知.” .” - -徐利治徐利治 几何直观的含义及表现形式 n n 也有学者这么描述：也有学者这么描述：“ “几何直观是一种思维活几何直观是一种

5、思维活 动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接 的识别或猜想的心理状态的识别或猜想的心理状态.” .” 几何直观的含义及表现形式 n n 几何直观是一种运用图形认识事物的能力，几何直观是一种运用图形认识事物的能力， 或者说是一种解决数学问题的思维方式或者说是一种解决数学问题的思维方式. . n n 这种能力可外化为一种在解决某些数学问题这种能力可外化为一种在解决某些数学问题 时的方法，这种方法区别于其他方法的典型时的方法，这种方法区别于其他方法的典型 特征在于它是以几何图形为工具的特征在于它是以几何图形为工具的即即“ “几几 何何” ”两字的意义两字的意义

6、. . n n 用这种方法解决问题，不是运用几何中常用用这种方法解决问题，不是运用几何中常用 的论证方法，而是通过经验、观察、想象等的论证方法，而是通过经验、观察、想象等 途径，直观地感知问题的结果或方向途径，直观地感知问题的结果或方向即即“ “ 直观直观” ”两字的意义两字的意义. . 几何直观的含义及表现形式 整式的乘除整式的乘除 一元二次方程的基本概念一元二次方程的基本概念 直角坐标系与点的位置直角坐标系与点的位置 已知变量的值求函数值已知变量的值求函数值 基本函数的概念与性质基本函数的概念与性质 特殊三角函数特殊三角函数 圆圆 点的坐标等等点的坐标等等 几何直观的含义及表现形式 n n

7、 实物直观实物直观 n n 符号直观符号直观 n n 图形直观图形直观 n n 和替代物直观和替代物直观 几何直观和其他概念的比较 n n 几何直观与数形结合几何直观与数形结合 n n 几何直观与直观几何几何直观与直观几何 n n 几何直观与空间观念几何直观与空间观念 几何直观和其他概念的比较 n n 几何直观与数形结合几何直观与数形结合 n几何直观的内涵最重要之处是“直接感知” n数形结合是“以形助数”， 几何直观和其他概念的比较 n n 几何直观与直观几何几何直观与直观几何 n直观几何是几何学的形态之一，也是一种几 何学习的方法 n几何直观则是一种解决数学问题的思维方式 ，是一种能力. 几

8、何直观和其他概念的比较 n n 几何直观与空间观念几何直观与空间观念 n空间观念是几何教学领域中的一个专用名词 ，是几何教学的一个重要目标. n几何直观却并非是限于几何领域内的一个名 词，它尽管是借助了几何，但却跳出了几何 ，适用到了更宽广的领域. 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入 微，数缺形时少直观” 几何直观是揭示现代 数学本质的有力工具，要培养和发展学生的 几何直观，需要依托具体的数学课程教学内 容，需要具体落实在课程内容、课堂教学细 节之中 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视图景体验，培养学生的空间想象能力 n观察与思考并重，培养学

9、生的直观洞察能力 n用“图”说话，培养学生用“图形语言”来思考问 题的能力 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n n 重视图景体验，培养学生的空间想象能力重视图景体验，培养学生的空间想象能力 n中学数学中的空间想象能力主要是指：学生 对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽 象思考和创新的能力初中学生往往缺乏生 活经验，因而对几何图形缺少直观，缺少体 验 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n n 重视图景体验，培养学生的空间想象能力重视图景体验，培养学生的空间想象能力 n n 进行表象积累，增强感性认识、进行表象积累，增强感性认识、 n n 比如：关于投影的教学中心投影、平行投比如：关于投影

10、的教学中心投影、平行投 影这些概念和学生的生活实际影这些概念和学生的生活实际 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n构建操作实验，获得感官经验 n要注重引导学生参与到课堂学习中，在活动 中探究，在探究中获得认知、感受和体会 老师还必须引导学生自己进行独立的操作实 验活动，让他们去比一比、折一折、剪一剪 、拼一拼、画一画通过视觉、触觉、听觉 等多种分析器官共同参与的操作活动，验证 一些原有的猜想或者产生一些新的发现这 种“直观”比老师的说教有效得多 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n适当运用多媒体演示，拓展空间想象能力 n多媒体演示形象具体，声色兼备，动静结合 ，恰当地运用，可能变抽象为具体

11、，调动学 生各种感官协同作用，拓展学生的空间想象 能力 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力 n几何学习中，学生的直观洞察能力非常重要 ，这种能力实质上是对几何图形及其结构、 关系的想象和判断类似于猜想，主要表现 为灵感和顿悟 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n要重视学生基础知识的训练 n扎实的基础知识是产生直觉的源泉，没有深 厚的功底，是不会迸发出直觉的思维，也就 无法提高学生的直观洞察力 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n要注重事实引导学生进行合理猜想 n真正的科学探究应是建立在思维的逻辑性和 科学基础上的有效探究而有效探究的实施 前提是必须

12、建立在提出符合逻辑性和科学性 的合理猜想的基础之上 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n要注意观察与思考并重 n直观洞察力的产生要依赖于对几何图形全面 及本质的把握没有观察就没有发现，更不 会有创造但观察必须与思考相结合，没有 思考的观察就不是真正意义的观察 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n用“图”说话，培养学生用“图形语言”来思考问 题的能力 n希尔伯特在直观几何中曾谈到：“图形可 以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一个 问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直 观、简单”用图形“说话”，用图形描述问题 ，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素 质 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n

13、打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一 块。 n 扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有 深厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花 ，也就提高不了学生的直观洞察能力。 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视直观图形与数学符号的合情转换。如在 学生学习正比例函数图像时，先引导学生用“ 描点法”画出一幅表示正比例函数的图像， 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视数与形的结合。比如不等式组的解法， 借助数轴可以很直观的得出结论。二次不等 式问题，没有坐标系也很难掌握其解法。在 认真的审题的基础上，通过出示直观图，巧 妙借助几何直观， 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视解题教学。教学中选择

14、适当的题目类型 ，有利于培养、考察学生的直观洞察力。例 如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选 出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有 利于直观思维的发展，实施开放性问题教学 ，也是培养直观洞察力的有效方法。 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n例如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深 水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流 量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时 间t之间的关系的图象是（ ） n根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t之间的关系分为两段，先快后慢 故选C 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n利用图形来记忆基础知识 n 几何的很多定理、公理、定义等学生很难 记清楚

15、，通过指导学生利用图形来记忆就比 较容易解决问题，同时也培养了学生用图形 的意识。 n 函数中的性质对于学生来说，也相当难以 记住，而且也相当容易混淆它们之间的关系 。利用指数函数与对数函数的图象比较形象 直观理解与记忆了它们的性质。 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视图感训练，培养学生的读图、作图能力 n几何直观在本质上是一种通过图形所展开想 象的能力，它与许多重要的数学内容紧密相 连因此，我们在教学中应重视学生“图感” 的训练在日常的教学中，要帮助学生从小 养成良好的画图习惯如直线公理的理解， 探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通 过点的位置不断变化，发现重要的结论：平 面内有

16、n个点，可以画条线段，与点的位置无 关，只与点的数量有关。 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视三种几何语言的转化，培养学生用图形 说话的能力 n几何语言的基本形式有：图形语言、文字语 言、符号语言这三种语言在几何中是并存 的，通常又是相互渗透和转化的 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n重视数形结合，培养学生用“图形”思考问题 n数形结合是研究数学和数学教学中的重要思 维原则之一几何直观与数学的内容紧密相 连一些重要的数学内容、概念， 培养和发展学生几何直观能力的 实践 培养和发展学生几何直观能力的 实践 培养和发展学生几何直观能力的 实践 n分析：这道题如果用代数方法解决相当思想 困难，但我们可以用几何的方法把这道题直 观表示出来 n点评：这样我们就将数学语言与直观的几何 图形结合了起来在应用转化策略解决问题 的同时，巧妙借用几何直观，把复杂的问题 转化成简单的问题，可以培养学