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1、例例定义定义1：第一节第一节 不定积分的概念及其性质不定积分的概念及其性质一、原函数和不定积分的概念一、原函数和不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若F (x)是是 f (x)的一个原函数的一个原函数, 则对于任意常数则对于任意常数 C ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常
2、数）为任意常数）任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量若若 是是 在区间在区间 I 内的一个原函数，则内的一个原函数，则例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义
3、，可知由不定积分的定义，可知结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表(1(1) )是常数是常数);说明：说明：例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不
4、定积分的性质不定积分的性质例例5 5 求积分求积分解解解解: 原式原式 例例6. 求求解解: 原式原式 =例例8. 求求解解: 原式原式 =例例7. 求求例例9 9 求积分求积分解解解解: 原式原式 =例例10. 求求例例1111 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解所求曲线方程为所求曲线方程为1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,
5、 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质内容小结内容小结1. 证明证明 2. 若若提示提示:思考与练习思考与练习是是的的原函数原函数 , 则则提示提示: 已知已知3. 若若的的导函数为导函数为则则的的一个原函数一个原函数是是 ( ) .提示提示: : 已知已知求求即即B?或由或由题意题意其其原函数为原函数为4. 若若提示提示:5. 求下列积分求下列积分:解：解：6. 求不定积分求不定积分求求 A , B .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得7. 已知已知练习题练习题练习题答案练习题答案
