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1、2.刚体平面运动和点的复合运 动综合 3.刚体运动的合成 补充 1.点的复合运动复习 运动学/点的合成运动 一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与 牵连 运动的合成 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时 2. 速度合成定理 1. 相对运动使得牵连速度的大小增大； 方向沿ve 科氏加速度的物理意义科氏加速度的物理意义 科氏加速度是牵连运动和相 对运动相互作用的结果。 2. 牵连运动使得相对速度的方向变化； 方向沿ve 综合两部分贡献，得到科 氏加速度： 可见，科氏加速度是牵连运动和相 对运动相互作用的结果。 运动学/点的合成运动 二解题步骤 1.
2、 选择动点、动系、定系。 2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。 4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。 运动学/点的合成运动 三解题技巧 1. 恰当地选择动点.动系和静系 动点和动系不能选在同一刚体上; 如有始终接触的点,应选择始终接触的那一点为动点(如导杆滑 块机构中的滑块,凸轮导杆机构中导杆上与凸轮 接触的点). 2. 速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形； 加速度问题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析（投影）法求 解，投 影轴的选取依解题
3、简便的要求而定。 四注意问题 1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。 2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉科氏加速度，正确分析和计 算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的 投影式不同。 运动学/点的合成运动 例1 曲柄滑杆机构,已知: OAl , = 45o 时，, ; 求：小车的速度 与加速度 选取动点： OA上的A点 动系：滑杆 定系：机架 解： 由 大小 方向 ? ? 水平 铅垂 作出速度合成平行四边形如图示 l OA 小车的速度： 运动学/点的合成运动 因牵连运动为平动，故有 大小 方向 l OA l2 沿OA指向O ? ? 水平 铅垂 作出加速度矢
4、量图如图示，将上式投影到x方向，得 () 小车的加速度： 运动学/点的合成运动 例2 摇杆滑道机构，已知 ， 求: OA杆的 , 。 选取动点： BC上的D点 动系：OA 定系：机架 解： 由 大小 方向 ? ? 沿OA 作出速度合成平行四边形如图示 v OA （ ） 运动学/点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OD2 ? 沿OA指向O 沿OA a OA 作出加速度矢量图如图示,向 轴投影得 ? OA （ ） 运动学/点的合成运动 例4 凸轮机构，已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线 上， 已知; 求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。 分析: 由于接触点在
5、两个物体上的位置 均是变化的，因此不宜选接触点为动点 。 选取动点： BC上的D点 动系：OA 定系 ： 机架 解： 由 大小 方向 ? ? /OA 作出速度矢量图如图示 v OC ）（ 运动学/点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OC2 ? 沿OC指向O /OA a ? OC 0 作出加速度矢量图如图示,向 轴投影得 转向由上式符号决定，0则 ，0 则 例6 套筒滑道机构,图示瞬时 ,h已知 , 求:套筒O的 ， 。 运动学/点的合成运动 解： 选取动点： CD上的A点 动系：套筒 定系：机架 由 大小 方向 ? ? /OA 作出速度矢量图如图示 v OA 运动学/
6、点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OA2 ? 沿OA指向O/ OA a ? OA OA 作出加速度矢量图如图示,向 方向投影得 （ ） 1. POSITION (POLAR COORDINATES) and the transverse coordinate, q, is measured counter- clockwise (CCW) from the horizontal. Derive Polar Coordinates Expression of Particle Derive Polar Coordinates Expression of Particl
7、e Kinematics by Method of Compound MotionKinematics by Method of Compound Motion (see P62 12.8) r = rur We can express the location of P in polar coordinates as Note that the radial coordinate, r, extends outward from the fixed origin, O, Given, find v and a . ve = rq . 2 VELOCITY (POLAR COORDINATES
8、) vr = r . v q = rq . v = (r q )2 + ( r )2 . . Applying the method of compound motion of a particle to get the velocity and acceleration in polar coordinates. vr = r . Assume a particle moving along a line that rotates about a fixed axis O . Take the line as a moving frame v = rur + rqu . . So in po
9、lar coordinate - Radial velocity - Transverse velocity 3.ACCELERATION (POLAR COORDINATES) So the acceleration in polar coordinate can be expressed as a = ( r rq2)ur + (rq + 2rq)u . . . ar =( r rq2) - radial acceleration a= (rq + 2rq) -transverse acceleration a = (r rq2)2 + (rq + 2rq)2 . . . . . . Li
10、kewise, assume a particle moving along a line which is rotating about a fixed axis O . 运动学/刚体的平面运动 例1 导槽滑块机构, 已知： 曲柄OA= r , 匀角 速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块 C,可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1 三点在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。求：该瞬时O1D的角速度 解： OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动 研究AB： vA=r ， 图示位置, 作瞬时平动, 所以 用点的合成运动方法求O1D杆上与滑块C相重合的点的速
11、度 这是一个需要联合应用点的合成运动 和刚体平面运动理论求解的综合性问题 2. 2.刚体平面运动和点的复合运动综合刚体平面运动和点的复合运动综合 运动学/刚体的平面运动 选取动点： 滑块C 动系：O1D杆 定系：机架 由 大小 方向 ? ? O1D / O1D 作出速度平行四边形如图示 r ）（ 运动学/刚体的平面运动 例2 导槽滑块机构,图示瞬时, 杆AB速度 ，杆CD速度 及 角已知，且AC= l , 求导槽AE的角速度 应用点的合成运动方法 确定AE杆 上与滑块C相重合的点C之间的速度 关系 解： 选取动点： 滑块C 动系：AE 定系： 机架 应用平面运动方法确定AE上A、 C 点之间速
12、度关系 运动学/刚体的平面运动 将 (b) 代入 (a) 得 作速度矢量图投至 轴，且vCv，vAu,有 （ ） 如果采用原版书上关于在转 动坐标系情形相对运动的分析方 法，对作刚体平面运动的动系， 有如下速度公式： 采用Vector analysis, 求出AE的角速度。 DIYDIY 运动学/刚体运动的合成 3. 3.刚体运动的合成刚体运动的合成 (1). 刚体平动与平动的合成 因为牵连运动和相对运动均为平动，故各点的牵连速度，相对 速度，牵连加速度，相对加速度均相同，从而各点的绝对速度，绝 对加速度均相同。于是有结论： 当刚体同时作两个平动时，刚体的合成运动仍为平动。 运动学/刚体运动的
13、合成 (2). 刚体绕平行轴转动的合成 刚体绕平行轴转动的合成问题在机械中经常遇到。例如，行星 圆柱齿轮机构，行星轮作平面运动。前面所研究的平面运动是把它 看成为平动和转动的合成运动，但是在分析行星轮系的传动问题时 ，将行星轮的平面运动看成为转动与转动的合成运动则比较方便。 在行星轮系中 定系：O1xy 动系： O1xy - 采用定轴转动坐标系 牵连运动： O1x 绕O1轴转动, O1x相对于 O1x的夹角的变化率 e为牵连角速度； 相对运动：动半径绕O2轴转动, 动半径相 对于O1x的夹角的变化率 r为相对角速度 。 运动学/刚体运动的合成 初始时刻，轮上某半径在O2A 位置 t 时刻, 该
14、半径在O2A位置 由图看出： 对 t 求导： 即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度a等于牵连角速度e 与相对角速度r的代数和 当e 与r 转向相同时, , 转向与两者相同 当e与r 转向相异时, ,转向与大者的相同 运动学/刚体运动的合成 下面来确定图形S 的瞬心的位置 e 与r同转向 e 与r 反向 由于ve=vr, 且方 向相反, 因此vp=0 , P 为速度瞬心。此时 P点为图形的速度瞬心, 通过点P且与轴O1、O2平行的轴称为瞬 时轴, 该轴上点的速度等于零。 运动学/刚体运动的合成 即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬时轴的转动，瞬时轴到两 轴的距离与两角速度的大小成反比。 同向
15、转动时，瞬时轴在两轴之间， ，转向与两者相 同； 反向转动时, 瞬时轴在两轴之外, 在角速度值大的一侧, ，转向与大者相同。 Special Case: 反向转动时, 瞬时轴在无穷远处，称转动偶。 两种分析圆轮上A点的速度、加速度的方法： （1）基点法； （1）点的复合运动的方法。 A DIYDIY 为相对于转动动 系O1O3的角速度 Homework P366 16-132, 16-134 P370 16-145, 16-147 运动学/点的合成运动 (1)先选取动点： O1A上的A点 动系：BCD 定系：机架 解： 例3 曲柄滑块机构，已知： h; 图示瞬时 ; 求: 该瞬时O2E杆的2 。 由 大小 方向 ? ? /BC 作出速度合成平行四边形如图示 1 r O1A 水平 运动学/点的合成运动 （2）再选取动点：BCD上的F点 动系 ： O2E 定系：机架 由 大小 方向 ? ? /O2E 作出速度合成平行四边形如图示 r1 sin O2E ）（ 运动学/点的合成运动 例5 刨床机构，已知: 主动轮O转速n=30 r/min，OA=150mm , 图示瞬时, OAOO1， 求: O1D 杆的 1、1 和滑块B的速度及加速 度。 (1)先选取动点： 轮O上的A点 动系：O1D 定系：机
