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1、 多元函数微积分的概念, 理论, 方法是一元函数微 积分中相应概念, 理论, 方法的推广和发展, 它们既有 相似之处(概念及处理问题的思想方法), 又有许多本质 的不同, 要善于进行比较, 既要认识到它们的共同点和 相互联系, 更要注意它们的区别, 研究新情况和新问题, 深刻理解, 融会贯通. 第八章 多元函数微分学 上学期, 我们学习了一元函数微积分. 但实际问题 中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数 的形式, 我们需要学习多元函数微积分问题. 函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上 要出现一些新东西, 但从二元函数到二元以上函数则 可以类推, 因此这里基本上以讨论二元函数为主.
2、 重点: 多元函数基本概念, 偏导数, 全微分, 复合 函数求偏导, 隐函数求偏导, 偏导数的几何应用, 多元 函数极值. 难点: 复合函数求偏导, 多元函数极值. 掌握多元函数基本概念, 会表示定义域, 了解二 元函数极限, 连续; 深刻理解二元函数偏导数, 能熟练求出一阶和 高阶偏导数; 掌握全微分概念; 掌握复合函数, 隐函数的求偏导方法; 会求曲线的切线, 法平面, 曲面的切平面和法线 ; 掌握求多元函数极值的方法. 基本要求 8.1 多元函数基本概念 一元函数的基本概念是建立在实数集合或数轴上 的点的集合之上的. 这些概念包括点集, 两点间的距离, 区间, 邻域等概念. 为了介绍多元
3、函数及其微积分的概 念, 需要介绍高维空间的相关概念. 我们先介绍2维空 间的相关概念, 然后将其推广到n维空间. 一、平面点集与n维空间 平面直角坐标系(xoy平面)中用二元实有序数组(x, y)表示平面上的点. 平面上具有某种性质P的点作为元 素构成的集合称为平面点集, 记作 E= (x, y) | (x, y)具有性质P 例如: C= (x, y) | x2 + y2 0, 点M的去心邻域Uo(M, )内 总有点集E的点, 则称M为E的聚点. 点集E的聚点M既可以属于E, 也可以不属于E. 实 际上聚点M的任意邻域内包含有E的无穷多个点. 点集 E的内点都是聚点; 但边界点未必是聚点.
4、例如仅有有 限个点的集合的每一个点都是边界点, 而它们每一个 点都不可能成为聚点. 又例如: E= (x, y) | 00, 总存在0, 使得对于适合不等式 的一切点P(x, y)D, 都有 | f(x, y) A |0, 总存在0, 使得对 于适合不等式 0| PP0 | 的一切点PD, 都有 | f(P) A | 成立, 则称A为n元函数f (P)当PP0时的极限, 记为 四、多元函数的连续性 定义3: 设n元函数 f(P)的定义域为点集D, P0是D 的聚点, 且P0D, 如果 则称 n元函数 f(P)在点P0处连续. 设P0是n元函数 f(P)的定义域内的聚点, 如果f(P) 在点P0
5、处不连续, 则称P0为函数 f(P)的间断点. 例5: 讨论函数 在(0, 0)处的连续性. 解: 取 x = rcos, y = rsin. 则 | f(x, y) f(0, 0) | = | r(cos3 + sin3) | 2r, 故函数f(x, y)在点(0, 0)处连续. 例6: 讨论函数 在(0, 0)的连续性. 当 时, 解: 取 y=kx, 则 其值随 k 的不同而变化, 即极限不存在. 故函数f(x, y)在点(0, 0)处不连续. | f(x, y) f(0, 0) | 2r , = f(0, 0), 多元函数的间断性也与一元函数的情形有所不同. 如 其定义域为: D=(x
6、, y)| x2+y2 1. 而圆周C=(x, y)| x2 + y2 = 1上的点都是D的聚点, 但函 数 f(x, y)在C上无定义, 故在C上的点都是函数 f(x, y)的 间断点. 由极限, 连续的定义和性质, 多元连续函数的和, 差, 积仍为连续函数, 多元连续函数的商, 在分母不为 零处仍为连续函数. 多元连续函数的复合函数也是连 续函数. 一个可以由常数及其不同自变量的一元基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合而得到可用一个表 达式表示的函数, 称为多元初等函数. 闭区域上连续函数的性质: 可以证明: 多元初等函数在其定义域内是连续. 性质1 (最大值和最小值定理): 在有界闭区域D上 的多元连续函数, 必在D上有界, 且能取得它的最大值 和最小值. 性质2 (介值定理): 在有界闭区域D上的多元连续 函数, 必取得介于最大值和最小值之间的任何值. n 维空间上的点集和区域的概念; 多元函数的定义; 多元函数极限的概念, 注意趋近方式的任意性; 多元函数连续的概念; 闭区域上连续函数的性质. 五、小结 思考题 若点(x, y)沿着无数多条平面直线趋向于点 (x0, y0) 时, 函数 f(x, y) 都趋向于A, 能否断定 思考题解答 不能. 例如 则 但是不存在. 原因为, 若取 x = y2, 取 y = kx,(x, y)(0, 0),
