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1、安丘市青云学府二数学组谢大强圆锥曲线复习圆锥曲线复习1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a()的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当时，表示线段F1F2当时不表示任何图形.2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|6.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线:其中焦点坐标为F1(-c0)F2(c0)；(2)焦点在y轴上的双曲线:其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0-c)F2(0c).c2=a2+b27.双曲线(a0b0)的几何性质(1)范围：yR；(2)对称性：对称轴x=0y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别
2、是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.|x|a(3)顶点：A1(-a0)A2(a0)；实轴长，虚轴长一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率e=()；双曲线的离心率在(1+)内，离心率确定了双曲线的形状.(5)渐近线：双曲线的两条渐近线方程为双曲线的两条渐近线方程为.|A1A2|=2a11|B1B2|=2b12e113y=x14y=x双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双
3、曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程.8.抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的.2.抛物线的标准方程与几何性质准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(00)(00)(00)(00)对称轴.x轴y轴.焦点F(0).F(0-)x轴y轴F(-0)F(0)离心率e=1e=1e=1e=1准线.xy.x=-y=9.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系(1)当dr时直线与圆
4、(2)当d=r时直线与圆(3)当dr时，直线与圆.10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.相离相切相交(1)当a0时则有l与C相交l与C相切l与C相离(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交且只有一个交点此时若曲线C为双曲线则l于双曲线的渐近线若C为抛物线则l于抛物线的对称轴.0=00平行平行11.弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|=.当
5、直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.12.曲线与方程的关系一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(xy)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个(2)以这个方程的解为坐标的点均是.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.方程的解曲线上的点13.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(xy).(2)写出动点M所满足的.(3)将动点M的坐标列出关于动点坐标的方程f(xy)=0.(4)化简方程f(xy)0为最简形式.(5)证明（
6、或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合代入几何条件注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为xy的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随
7、着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；定义(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(xy)中的xy分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到xy的关系式.1.动点P到两定点F1(-30)，
8、F2(30)的距离之和等于6，则点P的轨迹是()CA.椭圆B.圆C.线段F1F2D.直线F1F2课堂练习2.椭圆+=1的焦点坐标是若弦CD过左焦点F1则F2CD的周长是.(0)16由已知，半焦距c=故焦点坐标为(0)F2CD的周长为4a=44=16.3.中心在坐标原点焦点在y轴上经过点(0)离心率为的椭圆方程为.=1b=3e=a2=b2+c2又椭圆焦点在y轴上故其方程为=1.a=2b=3.解得依题设4.已知M为线段AB的中点|AB|=6动点P满足|PA|+|PB|=8则PM的最大值为最小值为.4依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大
9、值为4，最小值为半短轴.5.椭圆=1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x=(c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若MN2|F1F2|则该椭圆的离心率e的取值范围是.1)由已知|MN|=2.又|MN|2|F1F2|则24c从而故0b0c0.其中a与b的大小关系，可以为a=bab.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系.3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上
10、.4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性.5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0)的焦点F的弦为ABA(x1y1)B(x2y2)则有|AB|x1+x2+p.(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的.(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口
11、方向为x轴或y轴的负方向.16.若ab且ab0则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是()C由已知，直线方程可化为y=ax+b其中a为斜率b为纵截距，二次曲线方程可化为=1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.17.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是.(018.过原点的直线l:y=kx与双曲线C:=1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是.由于双曲线的渐近线的方程为y=x数形结合可知l与C有两个交点，则直线l夹在两渐近线之间，从而-0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件
12、，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.2.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线=1外一点P(x0y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条；P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共
13、四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.3.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.21.方程|x|-1=表示的曲线是()DA.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆由于
14、|x|-1=(|x|-1)2+(y-1)2=1|x|-10x1x-1(x-1)2+(y-1)2=1(x+1)2+(y-1)2=1曲线是两个半圆，故选D.或22.设P为双曲线-y2=1上一动点O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为.x2-4y2=1(代入法)设M(xy)，P(x1y1)，则-y12=1.x=x1=2xy=y1=2y又即代入得x2-4y2=1.(直推法)依题设|PF1|+|PF2|=25=10|PQ|=|PF2|则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10则动点Q的轨迹是以F1为圆心10为半径的圆其方程为(x+4)2+y2=100.23.已知椭圆=
15、1的左、右焦点分别为F1、F2P为椭圆上一动点延长F1P到Q使得|PQ|=|PF2|则动点Q的轨迹方程是.(x+4)2+y2=10024.平面直角坐标系中O为坐标原点已知两点A(31)B(-13)若点C满足=+其中、R且+=1则点C的轨迹方程是.x+2y-5=0（参数法）设C(xy).由=+得(xy)=(31)+(-13)x=3-y=+3.而+=1x=4-1y=3-2即则消去得x+2y-5=0.25.设A1、A2是椭圆=1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程是.(交轨法)由已知A1(-30)A2(30).设P1(x1y1)则P2(x1-
16、y1)交点M(xy)则由A1、P1、M三点共线得=.又A2、P2、M三点共线，得=.得=.又=1即=从而=即.1.曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.(2)如果曲线C的方程是f(xy)=0那么点P0(x0y0)在曲线C上的充要条件是f(x0y0)=0.(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(xy)与方程的解集之间建立了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析.(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标xy一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(xy)=0，
