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1、时间序列分析 参考书目： 吴今培.实用时序分析.湖南科学技术出 版社.1989 张树京，齐立心.时间序列分析简明教 程.清华大学出版社.2003. 按时间顺序产生和排列的观察数据序列 称为时间序列 某地近60个月的月平均气温如下： 123456789101112 8.312.115.318.623.427.629.828.425.923.718.912.7 7.613.514.618.024.128.130.229.124.922.117.611.2 9.012.515.618.322.527.329.628.624.622.917.611.6 9.513.516.219.222.526.92
2、9.328.125.722.919.813.7 9.812.515.618.923.527.929.928.725.823.318.712.4 从概率论知，如果x是某个随机现象（或 随机试验结果）的总称（每个月的平均 气温），做一次试验（观察一次）只能 获得x的一个取值X，它是一个样本值(普 通的数)，以一定的概率出现，将一系列 样本值按时间顺序排列起来，就得到时 间序列x1, x2, xt, ，每个xt均为一个随 机变量 从实质上看,时间序列是一连串按固定时 间间隔排列的随机变量 时间序列x1, x2, xt, ，下标t为整数变量，代 表等时间间隔的增量，如第t天，第t时刻，第t 次等，随时
3、间流逝，往往只能得到时间序列的 一个现实 所获得的数据最为重要和有用的特性，就是观 测值之间的依赖关系或相关性，这种相关一旦 被定量地描述出来（模式识别），就可以从系 统的过去观察值预测其将来的值， 用来分析各种相依有序的离散数据集合的方法 称为时间序列分析 另一种研究方法是将x1, x2, xt, ，看为一个 随机向量（ x1, x2, xt, ）或随机过程xt | t T 传统的时间序列分析法 在时域上估计观测数据xt的自相关函数 rk=Ext xt-k k Z (? t的范围) 在频域上估计它的自谱函数(功率谱) S()=Frk= rk e-ik 求和k从-到 F 为Fourier变换,
4、 为圆 频率, 为时间间隔, k为延迟或相关步数 实际上只能得到一个有限长度的样本值序列 xt,（60个月的月平均气温）因此无法从观察 数据精确计算出rk ,S()的真值 现代的时间序列分析方法 把xt看为独立的“白噪声” at输入一个随机 系统所得到的输出 问题是能否找到这样的一个系统S 理论上已经证明,任何平稳随机系统都能 找到(建模)一个合适的平稳时序模型来逼 近到我们所需要的近似程度 系统 Sat xt 时间序列的参数模型 记xt（t=，-2,-1,0,1,2,）是一个时间序 列，我们假定S为 xt = f ( xt-1, xt-2 , ）+ at f 代表过去的信息对现在的影响；at
5、 为与 过去无关的随机因素，表示时刻 t 出现 的新情况 模型 S 的一种常用情况是取 f 为线性形式 xt= 1 xt-1+ 2 xt-2+ at (1) 系统 Sat xt xt= 1 xt-1+ 2 xt-2+ at (1) 其中at是正态的白躁声序列，其均值为常 数，不妨假定为0，即： E at =0 E at at-k= a2 当k = 0 E at at-k= 0 当k 0 上面假定表明，白躁声at序列中的各个随 机变量彼此不相关，没有任何统计联系 以B表示后移算子，即B xt= xt-1, Bk xt = xt-k 则（1）变为： (1- 1 B- 2 B2 -)xt= at 改
6、写为 (B) xt= at 求逆 xt=(B) at 展开 xt= at + 1 at-1+ 2 at-2 + (2) 式(2)表明一个时间序列 xt可以认为是由 一个相互独立的白躁声序列 at 通过一个 线性滤波器（1,1 ,2 ,)而产生 自回归(AR)模型 数理统计的回归模型 yt=1 x1t+ 2 x2t+ r xrt+ t 表示一个变量yt 对同一时刻的另一组变量的 静态相关 (1) 只有有限项的模型称为自回归模型AR( p ) xt= 1 xt-1+ 2 xt-2+ p xt-p+ at （3） t=1,2,3, (Autoregressive) 是现在xt 对其过去数值xt-1
7、,xt-2 ,，xt-p进行 回归 式（3）中的假定 at作为随机序列，在不同时刻互不相关 at和以前时刻的序列观测值xk ( k0 k称为自相关函数(或归一化自相关函数) 一阶自回归模型AR(1) 设xt是平稳、零均值的时间序列 xt= 1 xt-1 + at （5） 它也可称为Markov过程 自相关函数 k = 1k-1= 1k k0 当0 -1 k 将随着k的增加按 ? 表明AR(1)具有无限记忆，尽管这种依赖程 序随时间延长而下降（见下图） k k k k xt= 0.8 xt-1 + at xt= -0.8 xt-1 + at AR(1)的两种特殊情况 xt= at 实际上是独立的
8、序列,相当于 没有“记忆”的过程 xt= xt-1 + at 即 xt - xt-1 = at 实际上为随 机游动 广义平稳过程xt 如果观测的时间序列xt被看作是随机过程的一 个可能现实，具有下列性质则称为广义平稳过 程 1. 对所有的时间点具有同样的均值，即 Ext=常数 对所有t 2. 对所有的时间点具有同样的方差，即 E(xt - )2=x2=常数 对所有t 3. 任何二时间点( t, t k )之间的协方差只取决于 时间间隔k,而与时间 t 起点无关 Ext, xt-k= x2 k=0 Ext, xt-k= rk k 0 滑动平均模型MA(q) (2) xt= at + 1 at-1
9、+ 2 at-2 + 中只有有限q项的模型 xt= at - 1 at-1 - -q at-q (6) 称为滑动平均(Moving Average)模型 设 (B)= 1 - 1 B - 2 B2 - - q Bq xt= (B) at 上方程共有q+1个求知参数,可用观测数据来估计. 如果系数多项式(B) =0的根全在单位圆外,则 MA(q)模型是可逆的 MA模型的自相关系数 rk=Ext xt-k= E(at - 1 at-1 - k at - k -q at-q ) ( at - k - 1 at k - 1 - -q at k - q) =(- k + 1k+1+ + q-kq )a2
10、 k=1, ,q =0 k q 当k=0 r0= (1 + 12 + + q2 ) a2 自相关系数 - k - 1k+1+ + q-kq k=1, ,q 1 + 12 + + q2 0 k q 说明MA(q)模型的自相关系数在k=q处截断(见下图 ） k= k k k k xt=0.5 at-1+ 0.3 at-2 + at xt=-0.5 at-1-0.3 at-2 + at k k xt=at-1+ 0.6 at-2 + at k k xt=-at-1+ 0.6 at-2 + at MA(1)的自相关系数 xt= at - 1 at-1 r0=(1+ 12 )a2 - 1 / (1 +
11、12 ) k=1 0 k 1 xt与xt-1相关与其他过去数值无关，MA(1) 只能提供未来一个周期的预测信息，记忆有限 k= 自回归滑动平均模型ARMA xt -1 xt-1 -2 xt-2- p xt-p = at - 1 at-1 - -q at-q 简称为ARMA(p,q)，简记为 (B)xt= (B) at 含有求知参数p+q+1个，如果系数多项式 (B)与(B)无公因子，而且满足平稳性与 可逆性条件，则称ARMA(p,q)模型是平稳 可逆的， ARMA(2,1) 当xt 不仅同前两项值xt-1，xt-2线性相关， 还同前一个at 即值at-1 线性相关时，模 型为 xt - 1 x
12、t-1 -2 xt-2= at - 1 at-1 或 at = xt - 1 xt-1 -2 xt-2+1 at-1 ARMA(p,q)的自相关系数 xt=1 xt-1+2 xt-2+p xt-p+ at -1at-1-q at-q 两边乘 xt-k，然后取数学期望 rk=1 rk-1+2 rk-2+p rk-p+rk(x,a) - 1rk-1(x,a)-q rk-q(x,a) （7） 其中rk(x,a)=Ext-k at ，因为xt-k只受时刻t-k前的扰动 影响，所以rk(x,a)=0 (k0) 所以 rk=1 rk-1+2 rk-2+p rk-p k-q=1 k = 1k-1+ 2k-2
13、+ pk-p k= q+1 (8) 由（7）式可以看出，q为ARMA(p,q)模型中 滑动平均的记忆部分。在k=q+1后（即 kq)，其自相关系数显示出纯自回归过程的 特性，即kq时，滑动平均部分就不起作用 了，故ARMA(p,q)的自相关系数也具有拖 尾的性质 当k=0 r0=1r-1+p rp+a2-1r-1(x,a)-q r-q(x,a) 再分别将k=1,p代入（7）共得到p+1个方程 解出r0 , r1 ， rp, 进一步求出k 求ARMA(1,1)的自相关系数 xt - 1 xt-1 = at - 1 at-1 （9） 由（7） (rk=Ext xt-k) r0=1r1+a2-1r-
14、1(x,a) r1=1r0 -1 a2 r2=1r1 rk= 1rk-1 k2 用at-1 乘（9）式并取期望 r-1(x,a)=(1 -1 )a2 解得 r0=1+12 - 211a2/1- 1 2 r1=(1+11)(1- 1)a2/1- 1 2 r2=1r1 rk= 1rk-1 k2 1= (1+11)(1- 1) / 1+12 - 211 2= 1 1 k= 1 k-11 结论：自相关函数从初值1开始，呈指数 衰减，这反映该过程滑动部分只有一个 周期的记忆。 时间序列模型的特性 除了前面讨论的自相关函数(系数)外 ，还有格林函数Gj 、逆函数Ij 、偏 相关函数kk 。它们分别用来分析系 统的稳定性和可逆性，以及进行模 式识别 格林函数Gj 对ARMA模型 xt=(B)/(B) at 进行长除法 xt=(1+G1B+G2B2+) at (10) =j=0 GjB j at =j=0 Gj at-j G0 =1 (10)中的系数Gj称为格林函数,其物理意义有 二个解释 1)Gj是j个时间单位以前加入系统的扰动 at-j对现在的响应权重; 2)表示了系统 对扰动 at-j有多大的记
