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1、第三章 非稳态导热 主讲人：孙晴 第三章 非稳态导热 非周期性非稳态导热 1、非稳态导热的基 本概念 2、集中参数法分析 非稳态导热 3、非稳态导热的正 规状况阶段（无限大 平壁的瞬态导热） 4、非稳态导热的非 正规状况阶段（半无 限大物体的瞬态导热 ） 5、多维非稳态导热 周期性非稳态导热 本章知识结构 3.1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热过程及其特点一、非稳态导热过程及其特点 导热系统内的温度场随时间变化的导热过程为非稳非稳 态导热态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。 非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热） 周期性非稳态导热周期性非稳态导热：物体温度随时间而做周期性的变 化
2、。 非周期性非稳态导热非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间 不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热 平衡。 二、瞬态导热过程的两个重要阶段二、瞬态导热过程的两个重要阶段 两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、 正规状况阶段 初始状况阶段初始状况阶段：环境的热影响不断向物体内 部扩展的过程，即物体大部分区域受到初始温度 分布控制的阶段。必须用无穷级数描述。 正规状况阶段正规状况阶段：环境的热影响已经扩展到整 个物体内部，即物体主要受热边界条件影响的阶 段。可以用初等函数描述。 3.1 3.1 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本概念 三、边界条件下三、边界条件下BiBi对温度分布的影响对温度分布的影响 x 0 x t t (b) (a) (c) 边界条件对系统温度分布 的影响是很显著的 ,这里以一 维非稳态导热过程（也就是大 平板的加热或冷却过程）为例 来加以说明。 图中表示一个大平板的加 热过程，并画出在某一时刻的 三种不同边界情况的温度分布 曲线（a）、（b）、（c） 1 1）边界条件对温度分布的影响）边界条件对温度分布的影响 3.1 3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 x 0 x t t (b) (a) (c) 这是第三类边界条件第三类边界条件下 可能的三种温度分布。 按照传热关系
4、式 作一个近似的分析。 1 1）边界条件对温度分布的影响）边界条件对温度分布的影响 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲线（a）表示平板外环境 的换热热阻 1/h 远大于平 板内的导热热阻 , 即 从曲线上看，物体内部的温物体内部的温 度几乎是均匀的度几乎是均匀的，物体的温 度场仅仅是时间的函数，与 空间坐标无关。这样的非稳 态导热系统可用集中参数法集中参数法 求解。 1 1）边界条件对温度分布的影响）边界条件对温度分布的影响 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲线（b）表示平板外环境 的换热热阻 相当于 平板内的导热热阻 , 即 这也是正常的第三类边界条 件 1 1）边界
5、条件对温度分布的影响）边界条件对温度分布的影响 x 0 x t t (b) (a) (c) 曲线（c）表示平板外环境 的换热热阻 远小于 平板内的导热热阻 , 即 从曲线上看，物体内部温度 变化比较大，而环境与物体环境与物体 边界几乎无温差边界几乎无温差，此时可用 认为 。那么， 边界条件就变成了第一类边第一类边 界条件界条件，即给定物体边界上 的温度。 1 1）边界条件对温度分布的影响）边界条件对温度分布的影响 毕渥数毕渥数是导热分析中的一个重要的无因次准则数 ，它表征了给定导热系统内的导热热阻导热热阻与其表面表面 对流换热热阻对流换热热阻的对比关系。 1 1）边界条件对温度分布的影响）边界
6、条件对温度分布的影响 2 2） 毕渥数毕渥数BiBi对温度分布的影响对温度分布的影响 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式 2）毕渥数Bi对温度分布的影响 2 2）毕渥数）毕渥数BiBi对温度分布的影响对温度分布的影响 3.2 集中参数法分析导热问题 当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻 ，也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近 似认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 对于任意形状的物体当Bit） 初始条件为 ： 引入过余温度： 分离变量积分并代入初始条件得 ： (1)温度场的计算 3.2 3.2 集中参数法分析导热问题集中参数法分析导热问题 物体的温度随时间的变化关系是一条负
7、 自然指数曲线，或者无因次温度的对数 与时间的关系是一条负斜率直线。 其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。 （2）导热量的计算 3.2 3.2 集中参数法分析导热问题集中参数法分析导热问题 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。 /0 /s 0.386 1 01 当=4s ， 工程上认为 = 4s时导 热体已达到热平衡状态。 物体的过余温度已经降到了初始过余温度的36.8%。 时间常数时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量cv及表面换热条件hA。热容量越大 ， 称为系统的时间常数，记为s。 二、集中
8、参数法的适用范围 如何去判定一个任意的系统是否适用集中参数法 ？ 对于直径为2r的球体 V/A=r/3 则 M = 0.33 直径为2r的长圆柱体 V/A=r/2 则 M = 0.5 对于厚度为2的大平板 V/A= 则 M = 1 3.2 3.2 集中参数法分析导热问题集中参数法分析导热问题 3.3 无限大平壁的非稳态导热 （正规状况阶段） 一、无限大平板加热（冷却）过程分析一、无限大平板加热（冷却）过程分析 厚度 2 的无限大平壁， 、a为已知常数；=0时 温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。 两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中
9、心为原点。 导热微分方程： 初始条件： 边界条件： (第三类 ) 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 解的最后形式为： 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 无量纲距离无量纲距离 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 分析解的分析解的简化简化 若Fo0.2时，利用上述公式计算时，采用该级数 的第一项与采用完整的级数计算平板中心的温度 差别小于1%。因而可以简化为： 所以对于 FoFo 0.20.2 时无限大平壁的非稳态导热过 程,温度场可按上式计算。 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 对于圆柱体和球体在第三类
10、边界条件第三类边界条件下的一维 非稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。 长圆柱：长圆柱： J J0 0 、J J 1 1 分别为分别为0 0阶和阶和1 1阶第一类贝塞尔（阶第一类贝塞尔（BesselBessel）函）函 数。数。 球体：球体： 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 26 二、非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法 2.诺谟图法 对于平壁中心，对于平壁中心， 上面两式之上面两式之比：比： 可见，当可见，当Fo Fo 0.2 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以，非稳态导热进入正规状况阶段以 后，虽然后，虽然 与与 m m 都随时间变化，但它们的比值与时间无
11、都随时间变化，但它们的比值与时间无 关，只取决于毕渥数关，只取决于毕渥数BiBi与几何位置与几何位置x/x/ 。 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 P130图3-8 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 P129图3-7 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 定义无量纲的热量 其中Q为0时间内传导的热量 从初始时刻到平板与周围介质处于 热平衡这一过程中所传递的总传热 量（物体内能改变总量） 经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量 ： 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无
12、限大平壁非稳态导热 P130图3-9 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 三、三、 傅里叶数傅里叶数 Fo Fo 对温度分布的影响对温度分布的影响 傅里叶准则数 ： Fo：称之为傅里叶准则傅里叶准则或傅里叶数傅里叶数。其物理意义物理意义 表征非稳态过程进行深度的无量纲时间，是给定 系统的动态特征量。这一无量纲时间越大，热扰 动就越深入地传播到物体内部，因而物体内部各 点的温度就越接近周围介质温度。 由正规状况阶的分析解及诺莫图可以看出，物体 中各点的过余温度随过余温度随FoFo的增加而减小的增加而减小。 3.3 3.3 无限大平壁非稳态导热无限大平壁非稳态导热 3.4 半
13、无限大物体的非稳态导热 （非正规状况阶段） 半无限大的概念：半无限大的概念：在一定的时间内，边界面处的温度 扰动只能传播到有限深度，在此深度以外，物体仍保 持原有状态（初始状态）。于是，在此时间内，可以 把物体视为半无限大半无限大。 一、一、第一类边界条件下半无第一类边界条件下半无 限大物体的非稳态导热限大物体的非稳态导热 假设半无限大物体具有均匀 一致的初始温度t0、常物性、无 内热源,表面温度突然升至tw并保 持不变。选择坐标系如图，这是 一维的非稳态导热问题。 数学模型： 分析解： 高斯误差函数 3.4 3.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 从误差函数表可查出从误差函
14、数表可查出 当当 时，时， 说明以下两点： （1）在 时刻， 深处的温度尚未变化，仍为 t0，x 也称为穿透深度。 t t0 tw x 1 2 3 x1x2x3 （2）当 时，深 度x 处的温度保持不变，时 间 称为深度 x 处的惰性时间。 根据傅里叶定律，半无限大物体内任意一点在 时刻的热流密度为： 表面（X=0 )在 时刻的热流密度为： 可见，在温差一定的情况下， 越大，通过表面 的热量越多， 称为吸热系数吸热系数，反映物体从与其接 触的高温物体的吸热能力。 二、第二，三类边界条件下的分析解二、第二，三类边界条件下的分析解 1、常热流边界条件下半无限大物体内温度场的解析 解： 3.4 3.
15、4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 3.5 多维非稳态导热的分析解 多维导热问题中，几种简单几何形状物体的非 稳态导热问题的分析解，可以用几个相应的一 维非稳态分析解相乘相乘得出，称之为乘积解法乘积解法。 乘积解法实际上与数学上的分离变量法的原理相似。因 此其应用也就有相应的限制条件。 n 物体的初始温度均匀 n 周围介质温度均匀 n 表面传热系数均匀 n 常物性没有内热源 22 y x 0 21 例如：1.矩形截面的长棱柱 （正四棱柱）：可由两个大 平板正交构成，因而温度分 布为两个大平板对应的温度 分布的乘积 3.5 3.5 多维非稳态导热的分析解多维非稳态导热的分析解
16、y z x 2.矩形块体(立方体) 可由三个大平 板正交构成，因而温度分布为三个大 平板对应的温度分布的乘积 2 x r R 0 3.短圆柱体可由一个长圆柱体和 一个大平板正交构成，因而温度 分布为一个长圆柱体和一个大平 板对应的温度分布的乘积 3.5 3.5 多维非稳态导热的分析解多维非稳态导热的分析解 二、多维非稳态导热量的计算 二维： 三维： 分别是构成同一个多维非稳态导热 的一维几何体的导热量百分比。 3.5 3.5 多维非稳态导热的分析解多维非稳态导热的分析解 3.6 周期性非稳态导热 周期性周期性变化边界条件下引起的非稳态导热。变化边界条件下引起的非稳态导热。 一、周期性非稳态 导热现象分析 波动振幅 衰减 延迟
