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1、第三章 恒定电场 2 3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔-楞次定律的微分形式 3-3 恒定电场的积分形式定理 3-4 媒质分界面上的边界条件 3-5 恒定电场中基本定理的微分形式与拉普拉斯方程 3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟 3-7 接地电阻的计算 第3章 恒定电场 恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。 3 要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵
2、抗电 场力搬到A极板。这种提供非静电力将 其它形式的能量转为电能装置称为电 源。 1.电源 恒定电流的形成 3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 恒定电流场是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷 流动的物理过程。 2.恒定电流场 4 电源电动势与有无外电路无关，它是 表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的 数量无关，即与电源的电流大小无关。 3.电源电动势与局外场强 设局外场强为 电源电动势与局 外场强 电源电动势为 因此局外场 E0 是非保守场。 局外场只存在于电源之中 5 (3-3) 3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔楞次 定律的微分形式 1 电流密度矢量 其方向为该点正自由电荷运动的方向，
3、即该点电场强度矢 量 的方向。 2 欧姆定律的微分形式 (3-4) ：媒质的电导率，单位为西门子每米（S/m） 6 3 焦尔定律的微分形式 导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗，其功率的体密度为 （W/m3）焦耳定律的微分形式 电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即 （W）焦耳定律的积分形式 7 例3-1 圆柱形电容器内导体的外半径为R1，外导体的内半径为 R2，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为，电导率为 ，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0，求单位长度上流过 介质的电流及功率消耗。 解 设内导体单位长度上电荷为，则其所激发的电场强度为 8 单位长度上所消耗的功率 单位长度上的绝缘电阻
4、 （3-10） 9 （3-11） 3-3 恒定电场的基本定理 1 电流连续性方程 在任意恒定电场中，作任意闭合曲 面S，由电荷守恒定律得 图3-3 穿过闭合曲面 的电流密度线 在恒定电流场中， （3-12） 恒定电场的电流连续性方程的积分形式 10 恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。 电流连续性方程的微分形式 电流的连续性方程说明了恒定电流场具有 什么性质？ 11 在恒定电场中，电场的分布恒定，它的能量状态亦是恒定 的。 2 环路定理 环路定理的微分形式 恒定电场的环路定理的积分形式 环路定理说明了恒定电流场具有什么性质？ 恒定电场能否引入电位函数？ 上式中的电场强度能否包括局外电场？ 1
5、2 恒定电场是无源无旋场。 小结：恒定电场（电源外）的基本方程 (1)恒定电场中是否存在泊松方程？ (2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？ 13 当媒质均匀时 则得 3 恒定电场的拉普拉斯方程 通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯 方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。 14 (3-14 ) (3-15) 不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理： 3-4 媒质分界面上的边界条件 1.不同导电媒质交界面上的边界条件 (1)边界条件 设有媒质电导率分别为 的交界面，可得 上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的法线分量连续。 在不同导电媒质交
6、界面处，恒定电场强度 的切线分 量连续。 15 图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质 在实际问题中，经常存在两 种媒质的电导率数值相差极大的 情形，这时当电流由电导率大的 媒质区域流向交界面时，不管其 与界面的交角如何，离开交界面 进入电导率小的媒质区域的电流 密度线几乎与界面垂直，这是因 为当 之故。 (2)分析 16 图3-5 电流由导体 流入土壤 在电力工程中，为了保证设备及人身 安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5106S/m， 如取地的土壤电导率为210-2S/m，当 钢中电流密度与交界面法线的交角1
7、 8959时，得23。由此可见 ，当电流从电导率高的接地体流入电导 率低的土壤时，土壤中的电流密度线几 乎完全垂直于接地体表面，这时可以近 似认为接地体表面为等位面。 (3)边界条件的应用 17 1.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件 (1)非理想介质 在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要 考虑其特有的介质性能。 在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在， 因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即 几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们 在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。 18 交界面处才不存在自由面电荷。 (2)边界条件的推导 可见
8、只有在下式成立的情况下 （3-22） （3-23） 19 图3-6 架空输电线的电场 3.导电媒质与理想电介质交界面的边界条件 在通常情况下，导体表面电 场强度的法线分量En比切线分量 Et大得多，因而在绝缘媒质中， 电场强度线仍然近似垂直于导体 表面。因而，导电媒质与理想电 介质交界面的边界条件为： (3-24) (3-25) (3-26) 20 图3-7 例3-2图 例3-2 同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两层非理想电介质 ，介质分界面的半径为R2，它们的电容率分别为1及2，电导 率分别为1和2，外导体的内半径为R3。设内外导体间加电压 U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由
9、电荷面密度。 解 设同轴电缆单位长度由内导体流到外 导体的漏电流为I0，由电流的连续性可知 流过单位长度上任一半径为R（R1RR3 ）的圆柱面上电流均为I0，又由同轴电缆 的对称性，知同一圆柱面上各点电流密度 矢量应为径向，且大小相等。 21 内外导体间电压为 （R2RR1 ） （R1RR2)（R2RR3) 因此 （R1RR2） R=R2 22 于是，可由已知的电压U0求出I0 代入上式得到 （R1RR2) （R2RR3) 23图3-8 例3-3图 例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置和 电位如图所示，若钢的电导率为5106S/m，R1=30mm，R2 60mm，求电极之
10、间的电阻。 解 用拉普拉斯方程来求解。选 用圆柱坐标系， 仅与坐标 有关 ，而与r、z坐标无关，拉普拉斯 方程简化为 24 边界条件 直接积分得 通过薄钢片截面的电流 电流密度为 25 因此电极之间的电阻 最后，代入已知数据 26 图3-9 平板电容器 电介质中的电场 3-6 导电媒质中的恒定电场与电介质 中静电场的比拟 1.静电场与恒定电场的相似关系 实例：一面积为S的平板电容器，如果两板间电压为U，就 能够求得其中的电场强度 ，电位函数 ，电位移矢量 以及 极板电荷q的表达式。 27 图3-10 平行电极间导 电媒质中的电场 若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介质 ，换以电导
11、率很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与板 面垂直，在两极板间仍然施以电场U，则可求得极板间恒定电 场的场量 、 、 与I。 28 表3-1 静电场与恒定电场的主要对应关系 无自由电荷分布区域的静电场无局外场区域恒定电场 积分 形式 微分 形式 边界 条件 29 静电场的主要 物理量 恒定电场的主 要物理量 表3-2 静电场与恒定电场主要物理量的对应关系 因而在均匀媒质情况下，当两种场的边界条件（边界形状 及边界赋值）完全相同时，它们的 场与 场是完全相同的， 而 场与 场则是彼此相似的。 30 图3-11 静电场图（a）与 恒定电场（b）类比示意 2.静电场与恒定电场的类比 （3-48） 在
12、非同一媒质情况下，若 静电场中的电介质与恒定电场 中导电媒质是分区均匀的，且 有同一相应的分布区域，此时 若两场中的导体边界条件亦相 同，欲使两场的场强相等，由 场的连接条件得 若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布虽 然彼此不完全相同，但仍然是相似的。运用它们彼此间的相似关 系，将一种场的求解方法过渡到另一种场中来，这种方法称之为 场的比拟法。 31 图3-12 两平行输电 线间的漏电导 (3-50) (3-49) 两平行输电线间电容 3.运用比拟法求两导体间的漏电导（或电阻） 求两平行输电线间的漏电导，设线间电压为U，线间单位 长度的漏电流为I，其漏电导为 由于两场相似，则有
13、(3-51) (3-52)故两平行输电线间的漏电导为 32 小结：电阻（导）的计算 1.直接用电流场计算 当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电 容计算电导。 2.静电比拟法 33 3-7 接地电阻的计算 1.接地 在电力设备的实际运行中，为了设备及人身的安全和电力系 统需要，电气设备的接地是必不可少的。这种保护人身及设备安 全的接地措施，称之为保护接地。 接地装置由连接导线和埋入 地中的接地体（或称接地电极）组成。 2.接地电阻的计算 (3-53) 接地电阻，主要是电流从接地体流入地中时，所具有的电 阻值，定义接地体的电位（无限远处电位为零）与流经接地体 而注入大地土壤的流散电流之比为接地电阻。即 34 屏蔽室接地电阻（深度20米） 35 教材 P117 3-11 3-12 作业
