初三复习专题全等三角形

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1、全等三角形 一:考纲要求与命题趋势 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的方法 ，会灵活的正确选择适当的识别方法判断 两个三角形是否全等。 2. 正确运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，所以它自然是中考必考知识点，同 学们务必学好它。 二:知识要点： 1.全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形。 2.全等三角形的识别方法 .全等三角形的识别方法（一）： 如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么这两个三角形全等，简称为（边边 边或SSS） .全等三角形的识别方法（二）： 如果

2、两个三角形的两边及其夹角分别对 应相等，那么这两个三角形全等，简称为 （边角边或SAS ） 全等三角形的识别方法（三）： 如果两个三角形的两个角及其夹边分别 对应相等，那么这两个三角形全等，简称 为（角边角或ASA ） 由ASA结合三角形内角和定理得全等三角形 的识别方法（四）： 如果两个三角形有两个角和其中一角的 对边分别对应相等，那么这两个三角形 全等，简称为（角角边或AAS) 两个直角三角形全等识别方法： 如果两个直角三角形有一条斜边和一 条直角边对应相等，那么这两个直角三角 形全等，简称为（斜边，直角边或HL ） 3.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 。 三:典型例

3、题 例1. 判断：都有两边长分别为3cm和5cm的 两个等腰三角形全等。 分析：以3cm为腰或以5cm为腰画两个等腰 三角形。 解：错，因为等腰三角形可能以3cm为腰， 5cm为底，也可能以5cm为腰，3cm为底。 说明：本例可使同学们逐步了解数学的分 类思想，对待每一问题不能片面考虑，要 完全、周密考虑。 例2：如图，已知线段AB、CD相交于点 O，AD、CB的延长线交于点E， OAOC，EAEC， 请说明 AC。 A B C D O E 分析：欲证明A C，有三条思路，一 是证明AOD与COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，说明AOE与 COE全等，这条路显而易得， AC

4、，三是证明 ABE与CDE全等，这也是不 能直接证明到的，所以应采用第二条思路 。 A B C D O E 解：连结OE，在AOE和COE中， AOECOE（SSS） AC（全等三角形的对应角相等） A B C D O E 误点剖析 若直接采纳分析中的第一条或 第三条思路那就麻烦了，因此，同学们在 分析解题时，要全面深刻的考虑，从而选 择较妥当的方法，顺利得到问题的答案。 说明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。 例3.P是线段AB上一点，APC与BPD都是 等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？ 试说明理由。 分析：观察图形

5、发现它们所在的三角形全 等，故考虑通过全等来说明。 D A P B C 解：由APC和BPD都是等边三角形可知 APPC，BPDP，APCBPD60， 所以APCCPDBPDCPD， 即APDBPC，所以APDCPB。（ SAS)，所以ADBC 误点剖析 实际上，PBC 可看作是PDA绕着P点按顺 时针方向旋转60得到， 由对应点连线段相等， 就有ADBC。 D A P B C 说明：此题图中APC和BPD不在同一直 线上，结论仍然成立，这是一个基本图形 ，许多题目都是在它基础上派生出来的。 D A P B C 例4.如图，已知， 在ABC中，BE、CF分别是AC 、AB边上的高，在BE上截取

6、BMAC，在CF延长线 上取CNAB，试问线段AM、AN有怎样特 殊的关系 ？ 并说明理由。 分析：直观地看数量上AMAN，位置上AMAN， 无论说明线段相等还是垂直，往往都要通过全等 解决。 B A C E F N M 1 3 2 4 解：由BE、CF是高可知AFCAEB 90，在ABE和ACF中，BAC是公共角 ，根据三角形内角和等于180，可得1 2，再由BMAC，ABCN，又可得 ABMNCA，所以AMAN，N3， 而N490，所以3490 ，即NAM90，所以ANAM。 B A C E F N M 1 3 2 4 误点部析：本例同学们常会漏掉AMAN这 样的关系，往往在遇到探索两线段

7、之间的 关系问题中，同学们总会误认为只可能存 在一种关系，因为平时无论是计算题或是 说明题大多数只有一个结论，由于定势思 维的影响，同学们也就常出现漏掉一些解 的情况，这就需要同学们加强对这类问题 的探索、思考，逐步养成全面解剖问题的 习惯。 B A C E F N M 1 3 2 4 说明：有公共角成对顶角的直角三角形隐 含着说明三角形全等的角相等条件，比如 ：本题中设BE、CF相交于O，则BFO和 CEO就隐含着12的结论，要善于识 别，由于观察不够，所以这类全等是学习 的难点。 B A C E F N M 1 3 2 4 例5. 如图，侦察员为了测量河宽，站在岸 边某处，并使擦帽舌而过的

8、视线恰好落在 河对岸A处，然后保持身体姿势不变，转过 身体，这时，擦舌帽而过的视线落在河对 岸这边B处，只要量出他站立的地方到点B 处的距离，就知道河的宽度了，试说明其 中的道理。 B A C D 分析：在测量过程中，侦察员的身体姿势 不变，则有CD不变，DCADCB90 ，视角CDBCDA，则可运用（ASA）证 明BCDACD，从而得到BCCA。 B A C D 解：设侦察员站立处为点C，眼睛在点D处 ，由题意知，在ADC与BDC中，ADC BDC， 又因为CDCD，ACDBCD90， 由（ASA）全等识别法，可知 ACDBCD， 所以BCAC。 即侦察员站立处到点B的距 离就是河的宽度。

9、B A C D 误点剖析：解本题必须从实际测量出发， 不能全凭图示，而误认为这是平面图形， 因而出现许多不理解的问题，比如：误认 为河的宽度是否应该为AB或CDAD，误认 为CD这条线段大河面上等。 B A C D 说明：本题中的图示，应从立体角度来看 ，图中的CD表示侦察员，因而CDBC，因 为人是垂直于地面站立的，河的宽度是C点 与对岸A点之间的距离，本例可激发同学们 运用数学解决实际问题的兴趣，从而逐步 培养同学们的形象思维能力。 B A C D 例6. 已知：如图，BD、CE分别是ABC中 AC、AB边上的高，且BDCE，试说明：AB AC。 分析：要说明ABAC，可说明AB、AC所在

10、 三角形全等。 B A C DE 解：因为BD、CE是高，所以ADBAEC 90，又AA，BDCE，由（AAS） 全等识别法，可知ABDACE，从而AB AC。 误点剖析：直角三角形全等既可以用 “HL”识别法，也可用一般 三角形全等识别法，应根据 题意选用恰当的识别方法， 而不是只局限于“HL”。B A C DE 说明：本例若用（HL）来说明，也很简单 ，由于BDCE，BCBC，所以 RtBCERtCBD，所以EBCDCB， 从而得到ABAC。 B A C DE 例7.如图所示，EF90，B C，AEAF，给出下列结论：12 ；BECF；ACNABM；CDDN ，其中正确的结论是_（注： 将

11、你认为正确的结论都填上）。 E A B C D M N F 1 2 分析由已知条件易得ABEACF，进而 可得前3个结论。 解：正确的结论是 E A B C D M N F 1 2 误点剖析：由已知条件可得一次全等，又 为二次全等提供条件，从而得出很多结论 ，不要有遗漏。 E A B C D M N F 1 2 说明：本例从形式上看起来是一道很简单 的选择题，但实质上是一条全等三角形的 判别与性质的综合题，因此，同学们在做 这类题时，千万要谨慎，不能受题目表面 所蒙骗，要看清问题的实质。 E A B C D M N F 1 2 例8.已知：如图 ，等腰直角三角形ABC 中，ACB90，直线 经

12、过点C，AD ，BE ，垂足分别为D、E。 （1）试说明ACDCBE； （2）如图直线 经过ACB内部，结论 是否仍然成立？ 1 2 A A B B C ED D E C 1 2 3 分析（1）由ABC是等腰直角三角形可得 ACBC，ACB90，结合AD ， BE 可得13，于是进一步可得 ACDCBE，（2）图变而条件不变，观 察ACD和CBE仍具备条件判断全等。 1 2 A A B B C ED D E C 1 2 3 解：（ 1）因为ABC是等腰直角三角形， 所以ACBC且ACB90，所以12 90，由BE 得2390，所 以13，在ACD和BCE中，ADC BEC90，所以ACDCBE

13、。（ A.A.S.） 1 2 A A B B C ED D E C 1 2 3 （2）由ACB是等腰直角三角形可知ACB90 ，即1290，ACBC，而由BE 得2 CBE90，所以1CBE，于是 ACDCBE（AAS） 1 2 A A B B C ED D E C 1 2 3 误点剖析：图看上去较复杂，但只要针 对问题的要求，把观察点置于ACD和 CBE中，然后研究它们的边与角之间的关 系，就不致于混乱而感到复杂。 说明：有些题目条件不变，只是图形运动 变化，结论往往仍然成立，解决大同小异 ，要善于抓住规律。 1 2 A A B B C ED D E C 1 2 3 例9.如图，等边ABC的

14、边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CDb，在BA的延长线 上取点E，使AEa+b，证明ECED。 B A CD E 分析：欲证明ECED，在原图中只有说明 到ECDEDC才可得ECED，而利用原 图这是不可能得到的，因此需适当作辅助 线构造全等三角形，延长BD到F，使DFBC a，连结EF，则有BFBE2ab，而B 60，可得EBF是等边 三角形，再由EBCEFD 得到ECED。 B A CDF E 解：延长BD到F，使DFBCa，连结EF， AEab，CDb， 又ABC是等边三角形， ABBCa， B60 BEBF2ab BEF是等边三角形 F60，EFBE2ab B A CDF E 在EBC和EFD中， EBCEFD（SAS） ECED B A CDF E 误点剖析：本题若不添加辅助线就无法说 明ECED，因为图中既无相似三角形，也 无全等三角形且不可能有ECDEDC， 而同学们从前章遇到的辅助线只是连结某 条线段或作垂线等较简单的辅助线，因此 ，有些同学用常规方法作 EGCD于G，设法说明 ECGEDG，这也 不可能得到。 B A CDF E 说明：本例难点在辅助线添加这一步，在 形内添加还达不到目的，需在形外添加， 结合已知条件构造全等