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1、摘自清华大学姜启源教授的报告 储油罐的变位识别与罐 容表标定 储油罐的变位识别 与罐容表标定 全国大学生数学建模竞赛 2010年A题 题目 题目的背景与分析 问题（1）的通常做法 问题（2）的通常做法 一种建立储油量模型的新方法 对学生论文的评述 题目的启示 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有 与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出 油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位 高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和 储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体 的位置会发生纵向倾斜和横
2、向偏转等变化（以下称为变位），从而 导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新 标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱 体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐 体横向偏转变位的截面示意图。 题 目 油 油浮 子 出油 管 油位探测装置 注 油 口 检 查 口 地平线 2m6m1m1m 3 m 油 位 高 度 图1 储油罐正面示意图 油位探针 油位探针 地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图 油 油浮 子 出油 管 油位探测装置 注 油 口 检 查 口 水平线 图3 储油罐截面示意图 （b）横向偏转倾斜后正截面图 地平线垂直线 油位探针
3、 （a）无偏转倾斜的正截面图 油位探针 油位探测 装置 3m (b) 小椭圆油罐截面示意图 油 油浮子 出油管 油 位 探 针 注油口 水平线 2.05m cm 0.4m 1.2m 1.2m 1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图 图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容 表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭 圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾 斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件 1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并 给出罐体变位后油位高度间隔为1c
4、m的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容 表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾 斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变 位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所 建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间 隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数 据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 流水 号 C进油 量/L D油位高 度/mm采集时间说明 1150159.022010-08-20 10:32:18 (1)罐体无变位进油，罐内 油量初值262L； 12100176.1420
5、10-08-20 10:33:18 (2)C列进油量是每次加入 50L油后的累加值 13150192.592010-08-20 10:34:18 (3)D列是原罐内初始油量加 入相应油量后油位高度值。 流水 号 C进油量 /L D油位高 度/mm采集时间说明 11747.86411.292010-08-19 15:10:27 12797.86423.452010-08-19 15:11:27 13847.86438.332010-08-19 15:12:37 14897.86450.54 2010-08-19 15:13:27 (1)罐体纵向倾斜变位进油， 纵向倾斜角4.10,罐内油量初 值2
6、15L； (2)C列进油量是每次加入50L 油后的累加值，个别的有小数 零头； (3)D列是原罐内油量加入相应 油量后油位高度值。 附件1 实验数据 流 水 号 C进 油量 /L D出油量 /L E显示油 高/mm 显示油量 容积/L采集时间备注说明 201060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集 2020149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 1)C列进油量,通常进 油是一次性连续 完成 203068.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:41 2)D列出油量
7、是加油机 不同时段的出油量vi 2040199.272610.29 60065.11 2010-08-01 08:38:14 3)E列显示油高是进/ 出油vi后对应 的罐内油 位显示高度hi； 205070.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:08 4)F列显示油量容积是 进/出油vi后,罐内油位 5020 显示高度为hi时的罐 容表显示储油量i。 503 60.81469.74 6086.74 51124 2486. 21 57704. 79 2010-08-08 11:43:40 2010-08-08 12:52:52一次性补充进油 附件2 检测数据 来
8、自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题. （2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的 ，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法 和结果，属于“反问题”。 题目背景 问题分析 问题由两部分组成： （1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知 变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数 值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容 表，属于“正问题”。 问题（1）的通常做法 根据附件1 的实验数据画出罐体不变位（=0）和罐 体变位（=4.10）时油位高度h和储油量V的曲线. 实验数据表 明，在同样 的油位高度 h下，罐体 变位时储油 量V减少. z x 0 z=H a b
9、 S(H ) z=H下的面积 油位高度h时 坐标y处z=H 油位高度h时坐标y 处的截面面积 罐体变位时油位高度h和储油量(体积)V的数学模型 化重积分为定积分 z y x h y H 0 L1 L 油位计 L2 V(h,) z=H 高度h与储油量V的模型 D3 D2 D1 y h1 0 L1 L2 h2 y1 y2 油位计 高度h与储油量V的模型 V(h,) h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L 1070.1340965.66702232.501003450.72 20281.86501371.88802661.421103776.64 30595.25601798.52
10、903072.431204012.74 =4.10的罐容表(部分 ) 按照模型讨论变位对罐容表的影响 与实验数据表 示的影响一致. 变位后储油量 平均约小200L. 模型结果与实验数据的比较 =4.10 =0 模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位 高度h下，储油量V的实验数据均比模型结果小. 可以有各种解释.是否要修正、怎样修正模型？ 问题（2）的通常做法 1. 罐体变位,时油位高度h和储油量V的数学模型 h D1 D2 D3 整体 考虑 h V x y 0 z 写出左右球面、圆柱面及油位高度h的 油平面方程. 将罐体分为3个区域：D1,D2,D3 在3个区域中分别写出体积的重积分， 并
11、化为（对z的）定积分. 油平面 将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑 z=H下的面积 z x 0 r h h z=H 截面面积S (y,h,) 圆柱体体积V1 (h,) 0 x z y D1 D2 D3 h 将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑 精确计算球缺部分体积V2 将倾斜角的油平面近 似为水平面（=0）计算 球缺部分体积V2. 直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成 圆柱，一起计算. 用各种方法得到罐体体积V (h,) ,一般是积分表达式, 给定, 可以数值计值计 算油位高度h时的储油量V. 问题（2）的通常做法 2. 根据储油量的数学模型V (h,)和实测数据（附
12、件2）辨识罐体变位参数, 流 水 号 C进 油量 /L D出油量 /L E显示油 高/mm 显示油量 容积/L采集时间备注说明 201060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i =0） 2020149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i =1 hiViui Vi =Vi (hi, 0,0)不能用！ 应该用数据ui , hi与模型V (h,) 辨识参数, 确定,应使储油量的改变Vi 与出油量ui 相吻合！ 辨识准则 确定,使Q最小 搜索法：按照, 的可能范围划分区间，逐步搜索. 直接利用MATL
13、AB的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit 辨识方法 辨识结果 ui , hi取进油前的300组数据 h/cm20406080100 V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62 h/cm120140160180200 V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48 h/cm 220240260280300 V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17 =2.110, =4.310的修正罐容表(部分) 罐体变位后显示 储油量与实际储 油量的比较 模型及结果检验 取进油后的
14、300组数据检验辨识结果, , 的灵敏性检验 的灵敏度 的灵敏度 纵纵向倾倾斜角比横向偏转转角 对罐容量的影响显著得多！ 一种建立模型V (h,) 的新方法 x y 0 z h h Y Z X 0 绕x轴转动绕z轴转动 T2T1= T1T2 ? h Y Z X 0 V V x y 0 z h L d h-r 油浮子坐标 (0, h-r, L/2-d) 过油浮子的油平面方程 坐标 变换 x y 0 z h r s R V 油位高度h的 储油区域为D 油位高度h时 的储油量V 定义示性函数 利用MATLAB的三重积分程序计算储油量 triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b
15、)+y*cos(a)* cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)* (L/2 -d).*(x.2+ y.2 =-s-sqrt(R2-x.2- y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r, r,- (s+R),s+R) triplequad (function, x1,x2, y1,y2, z1,z2) 被积函数 function 在长方体中的三重积分: 用于function 是示性函数 I(x,y,z)的情况: 计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响. 在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负(正负无关). 1）罐体变位后储油
16、量的计算（重积分）： 两端有油和一端有油区域的划分； 积分限的确定； 积分顺序的选择。 学生论文的主要缺陷 2）用所谓“等效高度”：得出不变位时高度与体积的 关系V(h)；变位后根据(主)截面面积不变得到等效高 度与原高度的关系h =f(h)；将它代入原式V(h) 得到变 位后高度与体积的关系V (h) 。 3）辨识变位参数所用的数据和准则不对：用附件 2中的 “显示油量”与模型在“显示油高”下的计算 油量作拟合。 如果模型正确，用这种错误方法得到的变位参数应 该是=0, =0 。 反映对该问题的理解根本错误 4）含混地叙述：“用数据和最小二乘得到 = , = ” “显示油量”是罐体未变位时的计量值. 5）对问题（1）用实验数据修正模型投入的精力过多 （解释误差、用
