专题讲座——小波变换讲述

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1、专题讲座小波变换 主要内容 1.1. 引言引言 2.2. 时频展开时频展开 3.3. 使用使用MatlabMatlab 4.4. 若干应用场景若干应用场景 引言 傅里叶变换应用非常广泛的原因可能是傅里叶变换应用非常广泛的原因可能是: : 直观性直观性 数学上的完美性数学上的完美性 计算上的有效性计算上的有效性 仍有局限性：仍有局限性：在整个时间轴上积分在整个时间轴上积分, ,表示了表示了 信号的全局特征信号的全局特征( (变换后变换后, ,时间是亚元时间是亚元) ) 如果需要分析信号的局部信号怎么办如果需要分析信号的局部信号怎么办? ? 乐谱乐谱 油田勘探油田勘探 时频展开时频展开 时频展开

2、希望定义一种工具能帮助计算信号希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)x(t)的瞬的瞬 时傅里叶变换，记为时傅里叶变换，记为X(X( ,F),F) 如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函 数，该基函数必须包括两个基本变量数，该基函数必须包括两个基本变量时间时间 和和 频频率率F F 时频展开主要内容 1.1. 短时傅里叶变换短时傅里叶变换STFTSTFT 2.2. GaborGabor变换变换GTGT 3.3. 连续小波变换连续小波变换CWTCWT 4.4. 小波变换小波变换WTWT 短时傅里叶变换STFT 确定信号局部频率特性的比较简单的方法是确定信号局部

3、频率特性的比较简单的方法是 在时刻在时刻 附近对信号加窗，然后计算傅里叶变附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。换。 X(X( ,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- ,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t- ) 其中，其中，w(t-w(t- ) )是一个以时刻是一个以时刻 为中心的窗函数为中心的窗函数 ，注意信号，注意信号x(t)x(t)中的时间中的时间t t和和X(X( ,F),F)中的中的 。 窗函数窗函数w w根据根据 进行了时移，进行了时移，扩展傅里叶变换扩展傅里叶变换 表达式表达式 短时傅里叶变换操作示意短时傅里叶变换操作示意 问题 实际运用中处理的问题与上述描述恰好

4、相反实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反 ：给定一个信号，希望能够在时域和频域上：给定一个信号，希望能够在时域和频域上 定位信号发生的事件，因此时间定位信号发生的事件，因此时间 和频率和频率F F都都 是不确定的，即按上述的分析不可行（结果是不确定的，即按上述的分析不可行（结果 不确定或有误差）不确定或有误差） 分析中，分辨率的损失是由于窗函数分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)w(t)的的 时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的 ； 信号不能同时在时域和频域准确定位信号不能同时在时域和频域准确定位 测不准定理 Gabor变换引言 STFTSTFT将

5、一个连续时间变量将一个连续时间变量t t的信号的信号x(t)x(t)变换变换 为有两个连续时间变量的为有两个连续时间变量的X(X( ,F),F) 意味着意味着STFTSTFT包含了很多的冗余信息包含了很多的冗余信息 将频率将频率F F离散化，离散化，F=KfF=Kf 0 0 将时间离散化，在将时间离散化，在 =mT=mT 0 0 采样采样 Gabor变换：Xm,k=X(mT0,kF0) Gabor变换 通过通过GaborGabor变换，信号变换，信号x(t)x(t)被展开为：被展开为： GaborGabor变换公式：变换公式： 小波变换是强有力的时频分析小波变换是强有力的时频分析( (处理处理

6、) )工具，是在工具，是在 克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成 功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模 式识别等。式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具 有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个 频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是 非常有用的。非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信 号可由小

7、波系数来刻画。号可由小波系数来刻画。 小波变换 数学显微镜 部分小波波形 小波基函数 将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换 小波分析 小波变换通过平移母小波小波变换通过平移母小波(mother wavelet)(mother wavelet)可获可获 得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度( (或或 者叫做尺度者叫做尺度) )可获得信号的频率特性。对母小波可获得信号的频率特性。对母小波 的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这 些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

8、连续小波变换连续小波变换 离散小波变换离散小波变换 连续小波变换 where:where: a a 缩放因子缩放因子 时间平移 时间平移 注意：在注意：在CWTCWT中，中，scalescale和和positionposition是连续变化的是连续变化的 CWT的变换过程 1. 1. 把小波把小波 (t)(t)和原始信号和原始信号f(t)f(t)的开始部分进行比较的开始部分进行比较 2. 2. 计算系数计算系数c c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程。该系数表示该部分信号与小波的近似程 度。系数度。系数 c c 的值越高表示信号与小波越相似，因此系的值越高表示信号与小波越相似，因此系 数数

9、c c 可以反映这种波形的相关程度可以反映这种波形的相关程度 3. 3. 把小波向右移，距离为把小波向右移，距离为k k，得到的小波函数为，得到的小波函数为 (t-k)(t-k)， 然后重复步骤然后重复步骤1 1和和2 2。再把小波向右移，得到小波。再把小波向右移，得到小波 (t-(t- 2k)2k)，重复步骤，重复步骤1 1和和2 2。按上述步骤一直进行下去，直到。按上述步骤一直进行下去，直到 信号信号f(t)f(t)结束结束 4. 4. 扩展小波扩展小波 (t)(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为，例如扩展一倍，得到的小波函数为 (t/2)(t/2) 5. 5. 重复步骤重复步骤1414

10、 CWT的变换过程图示 CWT小结 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这 样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度 量的是信号细节，表示频率量的是信号细节，表示频率w w 比较高；相反，比较高；相反， 缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号 的粗糙程度，表示频率的粗糙程度，表示频率w w 比较低。比较低。 离散小波变换 在计算连续小波变换时，实际上也是用离在计算连续小波变换时，实际上也是用离 散的数据进行计算的，只是所用的缩放因散的数据进行计算的，只是所用的缩放因 子和

11、平移参数比较小而已。不难想象，连子和平移参数比较小而已。不难想象，连 续小波变换的计算量是惊人的。续小波变换的计算量是惊人的。 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移为了解决计算量的问题，缩放因子和平移 参数都选择参数都选择2 j( j02 j( j0的整数的整数) )的倍数。的倍数。 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换叫做双尺度小波变换换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet (dyadic wavelet transform)transform)，它是离散小波变换，它是离散小波变换(discrete (discrete wavelet tr

12、ansformwavelet transform，DWT)DWT)的一种形式。的一种形式。 离散小波变换定义 需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续 的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时 间变量间变量t t的。的。 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子 和时间关系如图所示。和时间关系如图所示。 图图(a)(a)是是2020世纪世纪4040年代使用年代使用GaborGabor开发的短时傅立叶开发的短时傅立叶 变换变换(short time Fourier transf

13、orm(short time Fourier transform，STFT)STFT)得到的时得到的时 间间- -频率关系图频率关系图 图图(b)(b)是是2020世纪世纪8080年代使用年代使用MorletMorlet开发的小波变换得开发的小波变换得 到的时间到的时间- -缩放因子缩放因子( (反映频率反映频率) )关系图。关系图。 离散小波变换分析图离散小波变换分析图 DWT变换方法 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器 该方法是该方法是MallatMallat在在19881988年开发的，叫做年开发的，叫做MallatMallat算法算法 这种方法

14、实际上是一种信号的分解方法，在数字信这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信 号处理中称为双通道子带编码号处理中称为双通道子带编码 用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示 S S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产 生生A A和和D D两个信号两个信号 A A表示信号的近似值表示信号的近似值(approximations)(approximations) D D表示信号的细节值表示信号的细节值(detail)(detail) 在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高在许多应用中，信号的低频部分是最重要

15、的，而高 频部分起一个频部分起一个“ “添加剂添加剂” ”的作用。的作用。 比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实 是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反， 如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数 ，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子 产生的系数，表示信号的高频分量。产生的系数，表示信号的高频分量。 双通道滤波过程双通道滤波过程 离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高 通滤波器组成的一棵树通滤波器组成的一棵树 原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一 级分解级分解 信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分 解。解。 如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连 续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，续进行分解，就得到许多分辨