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1、第二章 控制系统的数学模型 2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 2.2 2.2 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 2.3 2.3 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 2.4 2.4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（ 或变量）之间关系的数学表达式，它是在系统分析 和设计中首先要做的工作。 建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分 析法和实验辨识法。 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来 得到数学模型的方法 。 机理分析法 实验辨识法 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当 的数
2、学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为 系统辨识系统辨识。 数学模型有多种形式，常用的有：微分方程（连续系统 ）、差分方程（离散系统）及状态方程等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流 图。 线性定常系统微分方程的一般形式 2.1 2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 本节着重研究描述线性、定常、集中参数控制系统微 分方程的建立和求解方法。 2. 1. 1 线性元部件及系统的微分方程 例：RLC 串连电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量 的网络微分方程。 解 ： 电磁力矩： 安培定律 电枢反电势： 楞次定律 电枢回路： 克希霍夫 力矩平衡：
3、 牛顿定律 电机时间常数 电机传递系数 消去中间变量 i, Mm , Eb 可得： 例：电枢控制的他励直流电动机如图，试列写其微分方程 。 解 ： 例：机械位移系统如图。试列写质量m在外力F作用下位移 y(t)的运动方程。 F y(t) k f m 整理得: 阻尼器的阻尼力： 弹簧弹性力： 解 ： 微分方程的列写步骤 1）全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输 入、输出变量。 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所 遵循的物理定理写出各微分方程； 3）将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个 仅含系统的输入、输出变量的微分方程。 4）整理方程，使得与输入有关的项在方程
4、的右边，与输 出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列。 l非线性系统：用非线性微分方程描述。 l 线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常 数。 l 线性系统：用线性微分方程描述。 l 线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是 随时间而变化的。 2. 1. 2 微分方程的类型 微分方程求解方法 2. 1. 3 线性定常微分方程的求解 求解方法：经典法、拉氏变换法。 R1 C1 i 1(t) ur(t ) uc(t ) 例：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t) 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变 换
5、，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表 达式，即为所求微分方程的解。 解： 拉氏变换法求解步骤 ： 小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即 x=x0+x, y=y0+y 二、近似处理 略去高阶无穷小项 严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性 ，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一 定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的 线性化。 三、数学方法 2. 1. 4 非线性微分方程的线性化 取一次近似，且令
6、即有 解：在工作点(x0, y0)处展开台劳级数 例：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程 。 传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的 复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统 的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或 参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中 广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函 数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典 控制理论中最基本也是最重要的数学模型。 2.2 2.2 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 2. 2. 1 传递函数的定义和性质 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比，称为传递函数。 线性定常系统的微分
7、方程一般可写为 在零初始条件下对上式两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程 传递函数 1) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与输入信号无关 ； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应; 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特 性；零初始条件含义要明确。 传递函数的性质 1)原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； 2)适合于描述单输入/单输出系统； 3)只能用于表示线性定常系统。 传递函数的局
8、限性 传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式 ： K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。 0 j S平面 零、极点分布图 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项 式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 2. 2. 2 传递函数的零点和极点 例：具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应 中所占比重。 2. 2. 3 传递函数的零点和极点对输出的影响 2. 2. 4 典型环节及其传递函数 在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典 型环节；或是在系统设计中
9、，在系统某处增加若干环节。 n环节：由一个或几个元件组成，表示系统的或系统中 局部的动态性能； n不同的元部件可以有相同的传递函数； n若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传 递函数 ； n任一传递函数都可看作典型环节的组合。 输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号 。 传递函数为 1. 比例环节（放大环节） 比例环节 比例放大器 惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不 能立即复现。其运动方程为 传递函数为 2. 惯性环节 惯性环节 由运算放大器构 成的惯性环节 积分环节 积分电路 3. 积分环节 输出量正比于输入量的积分，其动态特性方程为 传递函数为 微分环节 RC电
10、路 4. 微分环节 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即 传递函数为 一阶微分环节 输出在经过一段时间的延 时后才复现输入信号，即 传递函数为 5. 延时环节（时滞环节、延迟环节） 延时环节 有一对共轭复极点 其传递函数为 或 6. 振荡环节 振荡环节 2.3 2.3 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 控制系统的动态结构图（方框图） z 是控制系统数学模型的图解形式； z 可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各 作用量之间的相互联系； z 具有简明直观、运算方便的优点； z 方框图在自动控制系统的分析中获得了广泛应用 。 1. 信号线 带有箭头的直线，箭头
11、表示信号的 传递方向，直线旁标记信号的时间函 数或象函数。 2. 引出点（分支点）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号， 其性质、大小完全一样。 2. 3. 1 结构图的组成和绘制 l结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示 l结构图由信号线、 引出点、比较点和方框组成 3. 3. 方方框（框（功能框、环节）功能框、环节） 表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的 传递函数。箭头指向方框的信号线表示该方框的输入信号， 箭头离开方框的信号线表示该方框的输出信号。 4. 4. 比较点（求和点、综合点）比较点（求和点、综合点） 表示对两个以上的信号进
12、行加减运算。 “+”表示相加，“-”表示相减。 l根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节 或部件； l确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的 传递函数； l绘出各环节的动态结构图； l将各环节相同的量依次连接，得到系统结构图 。 结构图的绘制步骤 例: 试绘制图所示RC电路的动态结构图。 解: (1) 根据信号传递过程，将系统划分为四个部件 R1、 C1、 R2、 C2 (2) 确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数 R1： 输入量为ui-u1 ，输出量为 i1 传递函数为： C1：输入量为i1-i2，输出量为u1； 传递函数为 R2： 输入量为u1-uo， 输出量为i2； 传递
13、函数为 C2： 输入量为i2， 输出量为uo； 传递函数为 (3) 绘出各环节的动态结构图 (4) 将各环节相同的量依次连接， 得到系统结构图 结构图的基本连接方式有三种：串联、并联、反馈 复杂系统的结构图由这三种基本的连接方式组合而成的 1. 串联方框的简化（等效） 串联连接: n个环节首尾相连，前一个环节的输出作为后一 个环节的输入。 n个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的乘积 2. 3. 2 结构图的等效变换和简化 C(s) G2(s)G1(s) V(s) R(s) (a) C(s) G2(s)G1(s) R(s) (b) (a) 变换前 R(s) C1(s) C3(s) C2
14、(s) (-) G1(s) G2(s) G3(s) C(s) G1(s)+G2(s)-G3(s) (b) 变换后 R(s) C(s) n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和： 并联连接：n个环节的输入相同，而总输出为各环节输出 的代数和。 2. 并联方框的简化（等效） 将系统的输出信号C(s)在经过某个环节H(s)后， 反向送 回到输入端。 图示为反馈连接方式的一般形式 3. 反馈连接方框的简化（等效） R(s)C(s)E(s) G(s) H(s) C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s) G4(s) (-
15、) G2(s) G6(s) (-) C(s)R(s) G3(s) G5(s) G1(s) 例： 等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。 G(s) R(s)C(s) C(s) G(s) G(s) C(s) C(s)R(s) G(s) R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)R(s) R(s) l 引出点前移 C(s)=G(s)R(s) l 引出点后移 4. 引出点和比较点的移动 （1） 引出点移动 相加点前移 G(s) (-) B(s) C(s)R(s) G(s) B(s) C(s)R(s) (-) C(s)R(s) G(s) (-) B(s) C(s) G(s) G(s) R(s
16、) B(s) (-) R(s) V1(s) V2(s) E1(s)C(s) (-) V2(s) V1(s) (-) C(s)R(s) V1(s) V2(s) C(s)R(s) (-) 或 l 交换或合并相加点 C(s)=G(s)R(s)-B(s) C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s) C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s) （2） 相加点移动 l 相加点后移 结构图简化的关键是解除环路与环路的交叉，应设法使 它们分开，或形成大环套小环的形式。对于多回路的结构 图，先求内回路的等效变换方框图，再求外回路的等效变 换方框图。 解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。 a) 一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换； b)
