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1、第一篇 力 学 (Mechanics) 1 第1章 质点运动学 (Kinematics of particle) 描述物体的运动状态 运动方程 经典力学的时空观 参考系 物理模型 物理量 相对运动 2 牛顿力学的时空观 时间与空间：机械运动发生于时间之中， 理论力学中采用的理想时空模型是最简单 的模型假设存在绝对空间和绝对时间 。 绝对空间是三维均匀各向同性的固定不 动的欧几里得空间。 绝对时间是大小连续变化的，方向是从 过去到未来。在空间的所有点，时间都是 均匀的、单值的 ，不依赖于点的运动的。 3 1.0 矢量 一.矢量的表示法 a x ax ay az y z o a 4 二.矢量的加、
2、减法 a b a+b 三角形法 a b a - b ab+=？ 多边形法 a c a+b+c b bac =? -ab =？ 5 三.标量积(点积、数量积、内积) 6 积C的方向垂直于矢量a 和b组成 的平面， 指向由右手螺旋法则确定。 四.矢量积(向量积、叉积、外积) b a c c 7 1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同： 矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商 五.矢量函数A(t)的微商 lim t0 2. 的方向，一般不同于A 的方向。 只有当t0时， A 的极限方向，才是 的方向。 特别是,当A的大小不变而只是方向改变时, 就时刻保持与A垂直。 8 由于Ax(t), Ay
3、(t), Az(t)是普通的函数，所以 就是普通函数的微商。 3. 在直角坐标系中,考虑到 是常量,有 9 运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。 运动的描述是相对的。 一. 运动的绝对性和相对性 1.1 参考系和坐标系 10 坐地日行八万里 巡天遥看一千河 运动的绝对性和静止的相对性统一 送瘟神 11 在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系 。 为了作定量描述， 还要取一个固定在参考系中 的坐标系。 坐标系是参考系的代表和抽象。 二. 参考系 坐标系 常用的坐标系: 直角坐标系 自然坐标系 极坐标系 m S . 12 1-2 典型机械运动及理想模型 质点在所研究的问题中，形状和大小可
4、以忽 略的物体。 刚体 运动中形状和大小都保持不变的物体。 谐振动 弹性回复力 F= kx 13 1.3 描述质点运动的物理量！ 一. 位置矢量描述质点在空间位置的矢量 r=xi+yj+zk o x y z P(x,y,z) x y z A B C r 位置 矢量，简称位矢或矢径。 从坐标原点o指向P点的有向线段op=r r 质点P到原点o的距离 cos2 + cos2 + cos2 =1 14 它们都叫做质点的运动方程。 质点经过的空间各点联成的曲线的方程，称 为轨道方程。 运动方程 例：x=6cos2t y=6sin2t x2+y2=62 轨道方程。 二. 运动方程和轨道方程 15 (1)
5、位移是位置矢量r 在 时间t内的增量: 三.位移和路程 而A到B的路径长度S, 称为路程。S r(t) r A(t) z y o x B(t+t) 称为 质点在时间t内的位移。 r(t+t) 从起点A到终点B的有向线段AB=r 16 t1: t2: x 方 向 的 位 移 y 方 向 的 位 移 z 方 向 的 位 移 17 位移=AC 路程=AB+BC A B 只有当t0时,才有 |r | S 。 (2)位移和路程是两个不同的概念。 BA C 路程表示路径长度，是标 量，是弧长AB=S 。 r(t) r A(t) z y o x B(t+t) r(t+t) S 位移代表位置变化，是矢量，是直
6、线段AB的长度 ，与路径形状无关。 18 单位时间内的路程平均速率。 定义: 单位时间内的位移平均速度。 四. 速度、速率 r(t) r A(t) z y o x B(t+t) r(t+t) S 19 如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈， 即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点 又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同: 而平均速率为 则平均速度为 BA C 20 质点的(瞬时)速率: lim t0 = 质点的(瞬时)速度: lim t0 即：速度等于位置矢量r 对时间的一阶导数; 而速率等于路程S对时间的一阶导数。 21 = (1)速率=速度的大小。 例: (A) lim t0
7、 = lim t0 (B)(C) lim t0 = lim t0 (2) =r 大小的导数 + r 方向的导数。 22 速度的大小： (3)在直角坐标系中, 速度的方向：轨道切线方向。 23 平均加速度： 五. 加速度的定义 O x y z A. B. (瞬时)加速度定义为 lim t 0 加速度a等于速度 对时间的一阶导数。 在时间t内质点速度的增量： 24 (2) 加速度a 的大小: (1) 在直角坐标系中,加速度的表示式是 25 在曲线运动中,加速度的方向 总是指向曲线凹的一边的。 在国际单位制中,加速度的单位 为米/秒2(ms-2)。 加速度a 的方向是：当t0时,速度增量 的 极限方
8、向。 应该注意到, 的方向和它的极限方向一般不 同于速度 的方向,因而加速度a 的方向与同一时刻 速度 的方向一般不相一致。 a a a 26 例： 任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y, z 三 个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加,这就是 运动的叠加原理。 27 r=xi+yj+zk 求 导 积 分 * 运动学的两类问题 28 例题3.1 质点沿x轴运动,x=t39t2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动? 何时调头？ (2)t=0, 2s时的速度; (3)02s内的平均速度和路程。 t=1, 5s前后速度改变了方向(正负号） ，所以t=1,5s调头了。 因t=0，
9、=+15m/s,所以质点首先 向x轴正方向运动。 =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 解 (1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？ t=1 ,5s 29 考虑到t=1s时调头了，故02s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)| 02s内的位移： x=t39t2 +15t+1 平均速度： x=x(2)-x(0)=3-1=2m =1(m/s) (2)t=0, 2s时的速度; =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5) t=0, =15m/s t=2, =-9m/s (3)02s内的平均速度和路程。 +|x(2)-x(1)|=7+5=12m 30 质点作什么样的运动？ 例题3.
10、2 质点位矢： 解 x =3+2t2, y =2t2-1 y =x-4 直线 质点作匀加速直线运动。 31 解 (1) x=Rcos t ， y=Rsin t 轨道方程： x2+y2=R2 圆 由于t=0时,x=R, y=0,而t0+时,x0,y0,由此判定 粒子是作逆时针方向的圆周运动。 例题3.3 粒子矢径: r=Rcos t i+Rsin t j，其中 R、为正值常量。 (1)分析粒子的运动情况; (2)时间t=/ 2/内 的位移和路程。 32 其大小为 加速度a的方向-r，即沿着半径指向圆心。 综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。 33 (2)在时间t=/2/内的位移为 注意到为角
11、速度，在时间t=/2/内粒子刚好 运动半个圆周，故路程: S=R。 34 平均速度 ： (2)第2s内的平均速度： 当t=1s时， (1)位矢： 当t=2s时， 例题3.4 质点: x=2t, y=19-2t2 (SI), 求： (1)质点在t=1s、t=2s时的位置； 解 35 代入t=1s,得： 加速度： (3)第1s末的速度和加速度： a=4(m/s2) 速度： 36 由此得: t= 0,3s (略去t=-3s); t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见t=3s时最近。 r有极值的必要条件是： (5) 何时质点离原点最近? x=2t, y=19-2t2 这是一
12、条抛物线 (4) 轨道方程： 37 (6) 第1s内的路程: 1 0 =1.34m 38 例题3.5 在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的 速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时 速度和加速度。 解 h x r o x y 39 解2: 船的速度: h x r 40 解 取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正 方向。 例题3.6 伞兵竖直降落，o=0， a=A-B，式 中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。 41 完成积分就得运动方程: 运动方程： 42 单位矢量: 沿轨道切向 n 沿轨道法向指向凹側 p1 C . 六. 向心加速度和切向加速度 曲率圆 = 大小的变化率+ 方向的变化率
13、 43 = p1 C . p2 s o 加速度: 当t0时， 0 的极限方向为 的方向，所以 lim t0 44 因ds=d (为曲率半径) p1 C . p2 s o 45 大小： 方向：沿半径指向圆心。 大小： 方向：沿轨道切线方向。 作用：描述速度方向的 变化。 作用：描述速度大小的 变化。 加速度小结： 名称：向心(法向)加速度。 名称：切向加速度。 46 加速度的大小: a与速度的夹角是: a an 47 由an=| at | 得: 解得 解 (1) 例题3.7 质点作圆周运动, 半径R， (b,c为常数,且b2Rc); 求: 何时 an= a ? a=c ? (2)由=a+ n a
14、 a 22 48 解 an 、a是总加速度g沿轨 道法向和切向的分量： 例题3.8 求斜抛体在时刻t的an 、a和(设初 速o，仰角)。 x y o g o a a n x y 49 讨论：(1)在轨道的最高点， 显然=0，y=0,故该点： an=g, a=0 x y o g o a a n x y 50 (2) 解法之二 g x y o 51 例题3.9 质点: x=2t, y=19-2t2 (SI); 求时 刻t的an 、a、及a与 的夹角。 解 52 a与 的夹角： t=0 a an 何时a ? 53 =3t, 3t2=3, 求出t=1s 例题3.10 圆运动，r=3m，开始静止,a=3
15、ms-2； 求：(1)第1s末加速度的大小；(2)经多少时间a与 成45? 这段时间内的路程是多少？ 解(1)由有 又 (2)a与成45，即表示：an= a ，于是有 =a+ n a a 22 54 角加速度： 七. 圆周运动中角量和线量的关系 角速度： 角 角坐标(角位置)。 y x o A R 55 的方向：垂直于质 点的运动平面,其指向由 右手螺旋定则确定。 角速度矢量 56 圆周运动与直线运动的比较： 直线运动圆周运动 坐标 x角坐标 速度角速度 加速度角加速度 若a=恒量，则若=恒量,则 57 例题3.11 飞轮半径R=1m，=2+12t-t3 (SI)， 求：(1)轮边上一点第1s末的an=？ a=？(2)经多少时 间、转几圈飞轮将停止转动？ an=R2=(12-3t2)2 , a=R =-6t 代入t=1s, an=812 , a= -6 (SI) (2)停止转动条件：=12
