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1、平稳时间序列预测法 ARMA模型的建立 目录 基本概念ARMA模型建模流程 平稳时间序列： 设时间序列来自一个随机过程，如果此随 机过程的随机特征不随时间变化，则我们 称过程是平稳的。 实际应用中一般要求平稳性为“宽平稳” 。 基本概念 宽平稳： 基本概念 如果时间序列式平稳的，我们就可以用具 有确定参数方程将时间序列模型化。并且 利用以往的序列对模型的参数进行估计。 ARMA模型是一个研究平稳时间序列的模型 基本概念 白噪声序列： 序列由独立同分布的随机变量构成。 对所有 都有 基本概念 白噪声序列式最简单的平稳序列，在不同 点上的协方差为0。该特性称之为“无记忆 性”，意味着人们无法根据其
2、过去的特点 推断其未来的特点，其变化没有规律可循 。 在时间序列的分析中，当模型的残差序列 为白噪声序列时，可认为模型达到了较好 的效果，剩余的残差中已没有可提取的信 息。 基本概念 自相关函数与偏自相关函数 自相关函数 过程 的第j阶自相关系数即 ，自相关函数记为ACF(j) 。 基本概念 偏自相关函数 偏自相关系数 度量了消除中间滞后项 影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自 相关函数记为PACF(j) 基本概念 自相关函数和偏自相关函数的联系 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂 ，这里不再给出。可自行查阅相关书籍。 基本概念 ARMA模型 自回归移动平均模型（autoregressiv
3、e moving average models,简记为ARMA模型） ，由因变量对它的滞后值以及随机误差项 的现值和滞后值回归得到。 包括移动平均过程（MA）、自回归过程（ AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。 ARMA模型 AR（p）模型 自回归（AR）模型表示为： 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 MA（q）模型 移动平均（MA）模型表示为： 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 ARMA（p,q）模型 将AR模型与MA模型连起来： 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 AR、MA模型的相互转化 结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个 MA()过程，可采用递归迭代法完成转化 结
4、论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具有可逆性 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完 全等价的，所不同的是，前者是对AR过程 而言的，而后者是对MA过程而言的。 ARMA模型 以上三个模型都要满足一下条件： 第一，平稳性。序列时平稳的。 第二，残差符合白噪声。 第三，AR的平稳与MA的可逆 ARMA模型 ARIMA模型 将ARMA模型推广到非平稳的序列，就是 ARIMA模型。 非平稳的序列通过若干次处理，如：取对 数，差分等可化为平稳的序列。 经过d阶差分后得到平稳序列的ARMA(p,q) 模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型 ARMA模型 ARIMA的建模流程图： 建模流
5、程 原始序列 周期 带周期成分 不带周期成分 平稳 差分 白噪声 结束 ARMA模型 周期性检验：谱分析 谱分析方法把时间序列 看成是由 多种不同频率的规则波（正弦波或余弦波 ）迭加而成。在频率域上比较不同频率波 的方差大小，从而找出波动的主要周期。 对某一时间序列 的谱分析，有两 种方法： 一是功率谱分析， 二是最大熵谱 分析。 建模流程 功率谱分析 在时域中, 如果假设标准化时间函数 自相 关系数为 则功率谱 与自相关系数 通过傅里叶变换可建立如下关系： 建模流程 功率谱估计法 第一步，计算样本自相关系数： 建模流程 功率谱估计法 第二步，计算功率谱： 建模流程 的最大值即为主要周期。 功
6、率谱在分析时间序列的周期时存在如下 问题： (1)功率谱不能兼顾高频和低频段的需要; (2)某些短周期振动易在一些周期长度为它 们整数倍的长周期中表现出来,又混在长周 期中; (3)所取样本较短时,不利于谱的分辩, 可能得 出的周期与实际有偏离。 建模流程 SPSS中的功率谱分析： 观察谱周期图； 做Fisher峰值检验； 有效的峰值处就是周期； 建模流程 平稳性检验 一般地，以时间序列数据为依据的实证研 究工作都必须假定有关的时间序列时平稳 的，否则回导致谬误回归问题的出现。 先给出两种非平稳序列现象：d阶单整和协 整，这两类非平稳序列经过变换可以达到 平稳。 建模流程 d阶单整：是指非平稳
7、序列经过d阶差分后 可以达到平稳。 协整：若两个或多个非平稳的变量序列， 其线性组合后的序列呈平稳，则称这些序 列见有协整关系。 建模流程 先来看一个随机游动过程： 为白噪声序列 可以看出： 期望是常数，方差却随时间变化，是非平 稳过程。 建模流程 单位根过程： 其中 ， 是一个平稳过程，且 ， 可见，随机游动过程是单位根过程的一个 特例。 建模流程 单位根检验： 目前使用比较广泛的是Dickey-Fuller Test（ DF检验）是Dickey和Fuller在20世纪70年代 到20世纪80年代的一系列文章中建立起来 的。他是基于参数的最小二乘估计，在单 位根过程中，有给定样本构造统计量，
8、易 操作，可应用于多种不同形式。 建模流程 单位根检验： 1987年Engle提出了ADF(Augmented Dickey- Fuller)检验以修正DF检验中自相关问题， 并指出具有高阶自相关的序列应用ADF检 验。 ADF检验方法加入了漂移项与实践趋势项 ，更具科学性。 建模流程 DF检验的假设： 假设模型样本观测值来自模型 因此，在原假设成立时， 服从一个随机 游动过程；在备择假设成立时， 服从一 个平稳的一阶自回归模型。 建模流程 在原假设成立的条件下，参数 的最小二 乘估计为： T为样本容量。 建模流程 接下来构造统计量： 和 其中 建模流程 对于上述两种检验Dickey和Full
9、er分别给出 了检验的临界值，对于给定的样本容量T和 显著性水平，将样本观察值带入两个统计 量中，和临界值对比，如果统计量大于临 界值，则拒绝原假设 即认为 服 从平稳的一阶自回归模型。 建模流程 利用Eviews做单位根检验： 建模流程 前面通过周期性检验确定周期，通过单位 根检验判断序列是否平稳。对平稳的序列 画出ACF和PACF图，判断是不是白噪声。 如果不是白噪声序列，则根据ACF和PACF 图尝试给ARMA模型进行初步定阶。 建模流程 自相关图与偏自相关图： 根据自相关系数和偏自相关系数画成的图 ，可以简单直观的从图中读出粗略信息。 下面介绍几种序列的大致图形。 建模流程 建模流程
10、建模流程 建模流程 建模流程 建模流程 建模流程 平稳的时间序列其自相关图和偏自相关图 应该很快的落入95%的置信区间。 建模流程 拖尾与结尾： 首先拖尾与结尾都是针对平稳的时间序列 。 拖尾：是一种衰减的趋势，很快落入区间 内，通常呈衰减的正弦波或指数形式。 截尾：在某一阶后突然变得很小。 建模流程 模 型理论论上的ACF理论论上的PACF 白噪声序列全为0全为0 AR(p)拖尾p阶截尾 MA(q)q阶截尾拖尾 ARMA(p,q)拖尾（不截尾）拖尾（不截尾） 建模流程 截尾性检验： 对于自相关系数 对每一个 时，计算 ， 取 或 ，考察满足 或 建模流程 如果 时 都明显不 为0，而 均近似
11、于0，并满足上述不等式 相应的比例，则可近似的判定 是 阶截尾，平稳的时间序列 为MA(q) 模型。 建模流程 截尾性检验： 对于偏自相关系数 类似地，可考察 可近似判定 为 阶截尾，平稳的时 间序列 为AR(p)模型。 建模流程 以上给出了两种定阶的方法，一种简便但 偏主观，一种复杂但较客观。 无论哪种定阶方法都不是一蹴而就的，都 需要反复的分析与尝试。 如：每做完一次模型的建立，都需要进行 残差分析，看看残差是否是白噪声序列。 如果不是，说明模型没有提取完所有的序 列信息。 建模流程 利用信息准则定阶： 信息准则法在模型的选择中起到很重要的 作用，可以用于ARMA(p,q)模型的定阶，实
12、际上就是ARMA(p,q)模型的筛选。 这里给出两种准则：AIC准则和BIC准则。 建模流程 建模流程 建模流程 利用准则的决策矩阵： 从中选出AIC(p,q)最小的最为最终ARMA(p,q) 模 型MA(0)MA(1)MA(q) AR(0)AIC(0,0)AIC(0,1)AIC(0,q) AR(1)AIC(1,0)AIC(1,1)AIC(1,q) AR(p)AIC(p,0)AIC(p,1)AIC(p,q) 建模流程 最终确定模型后，做残差的白噪声检验， 可从残差的ACF图中大致看出，如果残差各 阶基本都在95%的置信区间内，可判断为是 白噪声序列。 如果残差满足白噪声序列，说明平稳时间 序列
13、的信息已经基本提取完。 最后利用所建立的模型进行预测。 参考文献 1徐国祥.统计预测和决策（第二版）M.2005 2朱星宇,陈永强.SPSS多元统计分析方法及应用M.2011 3张吉峰. 谱分析在测定时间序列周期中的应用J. 预测,1994,04:40-45+74. 4王众,刘军,王翔宇. 时间序列在隧道位移监测中的应用J. 公路与汽运 ,2012,06:201-206. 5吴田勇,曾庆,于萌,刘世炜,李勤,赵寒. 20042012年中国丙型肝炎报告数据 ARIMA模型及其趋势预测J. 上海交通大学学报(医学版),2014,05:705-709. 6李立娟. 谱分析在楼盘销售周期中的应用J. 知识经济,2014,10:106-108. 7王珏,宋镜明,李治民,晁代宏. 时间序列建模在光纤捷联罗经系统初始对准中 的应用（英文）J. 红外与激光工程,2013,S2:476-480. 8彭月. ARIMA模型的介绍J. 电子世界,2014,10:259. 9徐梦洁,黄劲松,周生路,彭补拙. 谱分析方法在市域经济周期研究中的应用 以温州市为例J. 经济地理,2001,04:385-388. 10周倩,张晋昕. 时间序列周期性检验方法研究进展J. 中国卫生统计 ,2013,03:445-447. T H E E N D 谢谢观看
