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1、平稳时间序列预测法 ARMA模型的建立 目录 基本概念ARMA模型建模流程 平稳时间序列: 设时间序列来自一个随机过程,如果此随 机过程的随机特征不随时间变化,则我们 称过程是平稳的。 实际应用中一般要求平稳性为“宽平稳” 。 基本概念 宽平稳: 基本概念 如果时间序列式平稳的,我们就可以用具 有确定参数方程将时间序列模型化。并且 利用以往的序列对模型的参数进行估计。 ARMA模型是一个研究平稳时间序列的模型 基本概念 白噪声序列: 序列由独立同分布的随机变量构成。 对所有 都有 基本概念 白噪声序列式最简单的平稳序列,在不同 点上的协方差为0。该特性称之为“无记忆 性”,意味着人们无法根据其
2、过去的特点 推断其未来的特点,其变化没有规律可循 。 在时间序列的分析中,当模型的残差序列 为白噪声序列时,可认为模型达到了较好 的效果,剩余的残差中已没有可提取的信 息。 基本概念 自相关函数与偏自相关函数 自相关函数 过程 的第j阶自相关系数即 ,自相关函数记为ACF(j) 。 基本概念 偏自相关函数 偏自相关系数 度量了消除中间滞后项 影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自 相关函数记为PACF(j) 基本概念 自相关函数和偏自相关函数的联系 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂 ,这里不再给出。可自行查阅相关书籍。 基本概念 ARMA模型 自回归移动平均模型(autoregressiv
3、e moving average models,简记为ARMA模型) ,由因变量对它的滞后值以及随机误差项 的现值和滞后值回归得到。 包括移动平均过程(MA)、自回归过程( AR)、自回归移动平均过程(ARMA)。 ARMA模型 AR(p)模型 自回归(AR)模型表示为: 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 MA(q)模型 移动平均(MA)模型表示为: 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 ARMA(p,q)模型 将AR模型与MA模型连起来: 其中为 为白噪音过程。 ARMA模型 AR、MA模型的相互转化 结论一:平稳的AR(p)过程可以转化为一个 MA()过程,可采用递归迭代法完成转化 结
4、论二:特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具有可逆性 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完 全等价的,所不同的是,前者是对AR过程 而言的,而后者是对MA过程而言的。 ARMA模型 以上三个模型都要满足一下条件: 第一,平稳性。序列时平稳的。 第二,残差符合白噪声。 第三,AR的平稳与MA的可逆 ARMA模型 ARIMA模型 将ARMA模型推广到非平稳的序列,就是 ARIMA模型。 非平稳的序列通过若干次处理,如:取对 数,差分等可化为平稳的序列。 经过d阶差分后得到平稳序列的ARMA(p,q) 模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型 ARMA模型 ARIMA的建模流程图: 建模流
5、程 原始序列 周期 带周期成分 不带周期成分 平稳 差分 白噪声 结束 ARMA模型 周期性检验:谱分析 谱分析方法把时间序列 看成是由 多种不同频率的规则波(正弦波或余弦波 )迭加而成。在频率域上比较不同频率波 的方差大小,从而找出波动的主要周期。 对某一时间序列 的谱分析,有两 种方法: 一是功率谱分析, 二是最大熵谱 分析。 建模流程 功率谱分析 在时域中, 如果假设标准化时间函数 自相 关系数为 则功率谱 与自相关系数 通过傅里叶变换可建立如下关系: 建模流程 功率谱估计法 第一步,计算样本自相关系数: 建模流程 功率谱估计法 第二步,计算功率谱: 建模流程 的最大值即为主要周期。 功
6、率谱在分析时间序列的周期时存在如下 问题: (1)功率谱不能兼顾高频和低频段的需要; (2)某些短周期振动易在一些周期长度为它 们整数倍的长周期中表现出来,又混在长周 期中; (3)所取样本较短时,不利于谱的分辩, 可能得 出的周期与实际有偏离。 建模流程 SPSS中的功率谱分析: 观察谱周期图; 做Fisher峰值检验; 有效的峰值处就是周期; 建模流程 平稳性检验 一般地,以时间序列数据为依据的实证研 究工作都必须假定有关的时间序列时平稳 的,否则回导致谬误回归问题的出现。 先给出两种非平稳序列现象:d阶单整和协 整,这两类非平稳序列经过变换可以达到 平稳。 建模流程 d阶单整:是指非平稳
7、序列经过d阶差分后 可以达到平稳。 协整:若两个或多个非平稳的变量序列, 其线性组合后的序列呈平稳,则称这些序 列见有协整关系。 建模流程 先来看一个随机游动过程: 为白噪声序列 可以看出: 期望是常数,方差却随时间变化,是非平 稳过程。 建模流程 单位根过程: 其中 , 是一个平稳过程,且 , 可见,随机游动过程是单位根过程的一个 特例。 建模流程 单位根检验: 目前使用比较广泛的是Dickey-Fuller Test( DF检验)是Dickey和Fuller在20世纪70年代 到20世纪80年代的一系列文章中建立起来 的。他是基于参数的最小二乘估计,在单 位根过程中,有给定样本构造统计量,
8、易 操作,可应用于多种不同形式。 建模流程 单位根检验: 1987年Engle提出了ADF(Augmented Dickey- Fuller)检验以修正DF检验中自相关问题, 并指出具有高阶自相关的序列应用ADF检 验。 ADF检验方法加入了漂移项与实践趋势项 ,更具科学性。 建模流程 DF检验的假设: 假设模型样本观测值来自模型 因此,在原假设成立时, 服从一个随机 游动过程;在备择假设成立时, 服从一 个平稳的一阶自回归模型。 建模流程 在原假设成立的条件下,参数 的最小二 乘估计为: T为样本容量。 建模流程 接下来构造统计量: 和 其中 建模流程 对于上述两种检验Dickey和Full
9、er分别给出 了检验的临界值,对于给定的样本容量T和 显著性水平,将样本观察值带入两个统计 量中,和临界值对比,如果统计量大于临 界值,则拒绝原假设 即认为 服 从平稳的一阶自回归模型。 建模流程 利用Eviews做单位根检验: 建模流程 前面通过周期性检验确定周期,通过单位 根检验判断序列是否平稳。对平稳的序列 画出ACF和PACF图,判断是不是白噪声。 如果不是白噪声序列,则根据ACF和PACF 图尝试给ARMA模型进行初步定阶。 建模流程 自相关图与偏自相关图: 根据自相关系数和偏自相关系数画成的图 ,可以简单直观的从图中读出粗略信息。 下面介绍几种序列的大致图形。 建模流程 建模流程
10、建模流程 建模流程 建模流程 建模流程 建模流程 平稳的时间序列其自相关图和偏自相关图 应该很快的落入95%的置信区间。 建模流程 拖尾与结尾: 首先拖尾与结尾都是针对平稳的时间序列 。 拖尾:是一种衰减的趋势,很快落入区间 内,通常呈衰减的正弦波或指数形式。 截尾:在某一阶后突然变得很小。 建模流程 模 型理论论上的ACF理论论上的PACF 白噪声序列全为0全为0 AR(p)拖尾p阶截尾 MA(q)q阶截尾拖尾 ARMA(p,q)拖尾(不截尾)拖尾(不截尾) 建模流程 截尾性检验: 对于自相关系数 对每一个 时,计算 , 取 或 ,考察满足 或 建模流程 如果 时 都明显不 为0,而 均近似
11、于0,并满足上述不等式 相应的比例,则可近似的判定 是 阶截尾,平稳的时间序列 为MA(q) 模型。 建模流程 截尾性检验: 对于偏自相关系数 类似地,可考察 可近似判定 为 阶截尾,平稳的时 间序列 为AR(p)模型。 建模流程 以上给出了两种定阶的方法,一种简便但 偏主观,一种复杂但较客观。 无论哪种定阶方法都不是一蹴而就的,都 需要反复的分析与尝试。 如:每做完一次模型的建立,都需要进行 残差分析,看看残差是否是白噪声序列。 如果不是,说明模型没有提取完所有的序 列信息。 建模流程 利用信息准则定阶: 信息准则法在模型的选择中起到很重要的 作用,可以用于ARMA(p,q)模型的定阶,实
12、际上就是ARMA(p,q)模型的筛选。 这里给出两种准则:AIC准则和BIC准则。 建模流程 建模流程 建模流程 利用准则的决策矩阵: 从中选出AIC(p,q)最小的最为最终ARMA(p,q) 模 型MA(0)MA(1)MA(q) AR(0)AIC(0,0)AIC(0,1)AIC(0,q) AR(1)AIC(1,0)AIC(1,1)AIC(1,q) AR(p)AIC(p,0)AIC(p,1)AIC(p,q) 建模流程 最终确定模型后,做残差的白噪声检验, 可从残差的ACF图中大致看出,如果残差各 阶基本都在95%的置信区间内,可判断为是 白噪声序列。 如果残差满足白噪声序列,说明平稳时间 序列
13、的信息已经基本提取完。 最后利用所建立的模型进行预测。 参考文献 1徐国祥.统计预测和决策(第二版)M.2005 2朱星宇,陈永强.SPSS多元统计分析方法及应用M.2011 3张吉峰. 谱分析在测定时间序列周期中的应用J. 预测,1994,04:40-45+74. 4王众,刘军,王翔宇. 时间序列在隧道位移监测中的应用J. 公路与汽运 ,2012,06:201-206. 5吴田勇,曾庆,于萌,刘世炜,李勤,赵寒. 20042012年中国丙型肝炎报告数据 ARIMA模型及其趋势预测J. 上海交通大学学报(医学版),2014,05:705-709. 6李立娟. 谱分析在楼盘销售周期中的应用J. 知识经济,2014,10:106-108. 7王珏,宋镜明,李治民,晁代宏. 时间序列建模在光纤捷联罗经系统初始对准中 的应用(英文)J. 红外与激光工程,2013,S2:476-480. 8彭月. ARIMA模型的介绍J. 电子世界,2014,10:259. 9徐梦洁,黄劲松,周生路,彭补拙. 谱分析方法在市域经济周期研究中的应用 以温州市为例J. 经济地理,2001,04:385-388. 10周倩,张晋昕. 时间序列周期性检验方法研究进展J. 中国卫生统计 ,2013,03:445-447. T H E E N D 谢谢观看