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1、材料力学（材料力学（） 第一章第一章 绪论及基本概念绪论及基本概念 1.11.1 知识要点知识要点 一、 材料力学的任务 为了保证整个结构或机械的正常工作，构件必须具有足够的强度、刚度且满足稳定性 要求。材料力学的任务是在满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，尽可能合理的选择材 料、确定截面的形状和尺寸，为构件设计提供必要的理论基础和计算方法。 二、变形固体的基本假设 1、 连续性假设：认为组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的整个几何空间。 2、 均匀性假设：认为固体内各点处的力学性质是相同的。 3、 各向同性假设：认为材料沿不同方向具有相同的力学性质。 4、 小变形假设：变形与本身的尺寸相比很
2、小。 材料力学的研究对象是连续、均匀、各向同性的变形固体，且大多数情况下是在弹性 范围内的小变形问题。 三、构件变形的基本形式及其受力和变形特点 1、轴向拉伸或压缩 在一对作用线与直杆轴线重合且大小相等的外力作用下，直杆的主要变形是长度的改 变。 （图 1-1a,b） 2、剪切 在一对相距很近的大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方 向发生错动（图 1-1c） 。 3、扭转 在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的任意两 横截面将发生相对转动（图 1-1d） 。 4、弯曲 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件将在纵向平面
3、 内发生弯曲变形（图 1-1e） 。 F F (a) 拉伸 F F (b) 压缩 F F （c）剪切 Me Me （e）弯曲 图 11 Me Me （d）扭转 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2.12.1 知识要点知识要点 一、轴向拉伸或压缩的概念 在一对作用线与直杆轴线重合且大小相等的外力作用下，直杆的主要变形是长度的改 变。 （图 1-1a,b） 二、内力 截面法 轴力及轴力图 内力指物体内部各部分之间的相互作用力。用截面法求内力的步骤为： （1）在需要求内力的截面处，将杆件截成两部分； （2）取某一部分为脱离体，用内力代替另一部分对其的作用； （3）建立脱离体的平衡条件，并求
4、该截面的内力。 轴力指轴向拉压杆横截面的内力，用 FN表示。其作用线与杆简的轴线重合，规定当杆 件轴向伸长时轴力为正，称为拉力；当杆件轴向缩短时轴力为负，称为压力。作轴力图的 步骤为：以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为 x 轴，称为基线基线，其值代表截 面位置，取 FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值绘在 基线下方。 三、应力 拉（压）杆内的应力 1、 应力的概念 应力是内力的分布集度。 总应力确切地反映了 K 点内力分布的强弱程度，也是一个矢量。 （2-1） A F p A 0 lim 正应力为总应力垂直于截面的应力分量： （2-2） A F A N
5、0 lim 切应力为总应力相切于截面的应力分量： （2-3） A F A S 0 lim 2、 拉（压）杆横截面上的应力 几何方面：提出平面假设，即杆件的任一横截面变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的 轴线； 物理方面：由应力和应变之间的单值关系，横截面上的正应力处处相等。 静力学方面：；AAAF AA dd N 于是得到拉（压）杆横截面上的正应力的计算公式： （2-4） A F N 3、 拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面上的总应力为 （2-5） coscos A F A F p 总应力可以分解为沿截面法线方向的正应力 和沿截面切线方向的切应力 （图 21） ，它们分别 为： (26)p 2 co
6、scos (27)p 2sin 2 1 sin 四、拉（压）杆的变形 胡克定律 拉（压）杆的纵向线应变和横向线应变分别为 d d l l 9)(2 8)(2 胡克定律为 或 （2-10） EA lF l N E F F m m （a ） （b ） )） （c ） )） n n n F F n 图 2 1 F p n n 其适用于材料在线弹性变形范围内，其中 E 称为弹性模量，EA 称为杆的抗拉（压） 刚度。横向线应变与纵向线应变之间保持一定的比例关系， （2-11） 其中 称为泊松比。 五、拉（压）杆的应变能 应变能是随着弹性变形而改变的能量。对于轴向拉伸的杆件，有 （2-12） EA lF
7、V N 2 2 应变能密度即单位体积的应变能为 （2-13） 2 2 E v 六、材料在拉伸和压缩时的力学性能 1、低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢的变形分为四个阶段（图 2-2）： 弹性阶段：卸除荷载后可以恢复原长，应力与 应变成正比的最高点的应力为材料的比例极限 p， 弹性阶段的最高点的应力值为材料的弹性极限 e。 屈服阶段：超过弹性极限以后，应力变化不大， 应变急剧地增加的阶段，该阶段的最低应力值为材 料的屈服极限 s。 强化阶段：应力经过屈服阶段后，由于材料在 塑性变形过程中不断发生强化，使试件主要产生塑 性变形，材料的最高名义应力值为其强度极限 b。 局部变形阶段：当应力达到强度极限后
8、，试件某一段内的横截面面积显著地收缩，出 现“颈缩”现象。 伸长率是衡量材料塑性的一个重要指标， （2-14）% l l 100 1 断面收缩率是衡量塑性性质好坏的另一个重要指标， 图 22 O C e b p s A B D G （2-15）% A AA 100 1 2、低碳钢压缩时的力学性能 低碳钢在压缩时，其弹性模量、弹性极限及屈服极限等值与拉伸时基本相同，但过了 屈服阶段后，由于试件的横截面面积越压越大，试件不可能产生断裂，所以低碳钢试件的 压缩强度极限无法测定。 七、强度条件 安全因数 许用应力 材料在拉伸（压缩）时的许用应力为 （2-16） n u 其中，为材料的极限应力，n 为安
9、全系数。 u 对于塑性材料有 （2-17） s s n 对于脆性材料有 （2- b b n 18） 式中 ns和 nb分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。 为了确保拉(压)杆件不致因强度不足而破坏，其强度条件为 (219) max max A FN 强度条件，可以解决下列三种强度计算问题： (1)强度校核 已知荷载、杆件尺寸及材料的许用应力，根据式（219）检验杆件能 否满足强度条件。 (2)截面选择 已知荷载及材料的许用应力，按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸， 即确定杆件所需的最小横截面面积。将式（617）改写为 (220) Nmax F A (3)确定许用荷载 已知杆件的横截面面积及材
10、料的许用应力，确定许用荷载。先由式 （617）确定最大轴力，即 (221)AF Nmax 八、应力集中 应力集中是由杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现 象。 2.2 例题详解例题详解 例题 1：矩形截面杆受轴向荷载作用。材料的 =0.5MPa，E=1.4104MPa。试校核该杆的强度并求全杆的总伸长量。 例题例题 2：图示结构由刚性杆 AB 及两弹性杆 EC 及 FD 组成，在 B 端受力 F 作用。两弹性杆由相同材料 所组成，且长度相等、横截面面积 相同，试求杆 EC 和 FD 的内力。 解解：该结构为一次超静定， 需要建立一个补充 方程。 静力方面 取脱离体如图
11、 b 所示，FDF、FCE且 以实际方向给出。建立有效的平衡方程为 (a)0 2 3 2 , 0lFlF l FM CEDFA 几何方面 刚性杆AB在 F 作用下变形如图 a 所示，CE 杆的伸长 lCE与 DE 杆的伸 长 lDF几何关系为： (b) CEDF ll 2 1 (3)物理方面 根据胡克定律，有 (c) EA F l EA F l CE CE DF DF , 将式（c）代入式（b）得 (d) CEDF FF 2 1 此式为补充方程。与平衡方程（a）联立求解，即得 (e)FFFF DEDF 5 6 , 5 3 例题例题 3 一钢螺栓穿过铜套管，在一端由螺母拧住 （此时，螺母与套管间
12、无间隙，螺杆和套管内无应力） 。 2.0m 2.0m 20kN 30kN 0.5m 0.3m 20kN 50kN FN图 解：首先作轴力图，则 MPa33 . 0 maxN, A F 因此，满足强度要求。 杆件的总伸长量为 mm067 . 0 0190 . 0 0476 . 0 NN EA lF EA lF l 下下上上 D aaa C B F A 例题 22 图 FDF （b）AB 杆受 力图 FCE FAy FAx C D l/2 l l F A B E A C F D l/2l/2 （a）变形图 F 已知螺栓杆的直径 D1=20mm， ，螺距 p=1mm，铜套管的 外径 D2=40mm，
13、内径 d2=22mm，长度 l=200mm，钢和 铜的弹性模量分别为 E1=200GPa， E2=100GPa。试求当 再将螺母拧紧 1/4 圈时，螺栓和套管内的应力（不计螺 栓头和螺母的变形） 。 解：（1）受力分析：螺栓对垫圈的作用力等于套管 对垫圈的作用力，即 FN1=FN2。 （2）根据题意，其位移条件为 l1+l2= p 4； l1 = 1 11, l2 = 2 22 其中，分别为螺栓的伸长及套管的缩短，考虑 FN1=FN2，可计算出 l1、l2 F1=F1= 1122 4(11+ 22) 将 代入得 1= 4 202= 3142, 2= 4 (402 202) = 876.52 F
14、1=F2= 200314100876.51 4 (200 314 + 100 876.5) 200 = 45.7 (3) 螺栓横截面的应力为拉应力 = F1 1 = 45.7 103 314 10 6 = 146 106Pa = 146 套管横截面的应力为压应力 = F2 2 = -45.7 103 876.5 10 6 =- 52.2 106Pa = - 52.2 例题例题4 4 图示石柱桥墩，压力F = 1000 kN，石料密度=25 kN /m2 ，许用应力 =1 MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积。 （1）等截面石柱； （2）三段等长度的阶梯石柱； （3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力。 例题 2-3 图 D2 d2 D1 l 例题 24 图 15m 5m 5m 5m FFF (a)(b) (c) 解：（1）采用等截面石柱 结构如图a 所示，设柱的横截面面积和长度分别为A 、l ，底部截面轴力最大，为 F= + 强度条件为 = = + = + 于是有 A = = 1000 103 1.0 106 25 103 15 = 1.62 所用石料体积为 1 = = 1.6 15 = 243 2、采用三段等长度的阶梯石柱 结构如图b 所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为A1 , l 1 ， A2 , l
