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1、1 第8章 离散时间系统的时域与变 换域分析 8.6 应用Matlab分析离散时间系统 8.5 数字滤波器的一般概念 8.4 离散系统的频响特性 8.3 离散系统的单位样值响应和系统函数 8.2 常系数线性差分方程的求解 8.1 离散时间系统与差分方程 2 8.1 离散时间系统与差分方程 8.1.1 线性时不变离散时间系统 离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器，当输入 信号xn经过该离散系统后，将变换成另一个序列-输 出信号yn，其框图如图8.1-1所示。 最基本的一类系统：线性时不变离散时间系统 线性离散系统是指满足叠加性与均匀性的离散系统。 3 8.1.1 线性时不变离散时间系统 时
2、不变离散系统是指在同样起始状态下，系统响应与激 励施加于系统的时刻无关。即：若激励信号xn产生的响 应为yn，则激励信号xn - m产生的响应为yn - m，即 发生同步延迟。 4 8.1.1 线性时不变离散时间系统 例8.1-1 设某离散系统激励xn与响应yn之间的关系为 yn = nxn，判断该系统是否为线性时不变系统。 解： 设y1n和y2n分别为输入x1n和x2n的响应，即 y1n = nx1n，y2n = nx2n （1）当xn= ax1n时，yn = n(ax1n) = anx1n = ay1n， 该系统满足均匀性。 （2）当xn = x1n+x2n时， yn = n(x1n +x
3、2n)= nx1n +nx2n= y1n+ y2n 该系统满足叠加性。所以该系统是线性系统。 （3）当xn= x1n-m时，yn = nx1n-m。而y1n-m=(n-m)x1n-m， 显然yn y1n-m， 该系统不是时不变系统（或称时变系统）。 综合以上讨论，该系统是一个线性时变系统。 5 8.1.1 线性时不变离散时间系统 例8.1-2 判断滑动平均滤波器的线性特性及时不变特性。广 义的滑动平均系统的输出yn与输入xn满足以下关系 解：假设 y1n =Tx1n和y2n = Tx2n，即y1n和y2n分别 为输入x1n和x2n时的输出信号。 （1）当输入信号为xn= ax1n时，输出信号为
4、 因而该系统满足均匀性。 6 8.1.1 线性时不变离散时间系统 （2）输入信号为xn= x1n+x2n时，输出信号为 该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。 （3）假设输入信号为xn= x1n-m，则输出信号为 因而该系统是时不变系统。 综合以上讨论，该系统是一个线性时不变系统。 7 8.1.2 差分方程 离散时间系统的基本运算单元符号 8 8.1.2 差分方程 例8.1-3 考察图8.1-5所示的离散系统，它由移位、相加、乘 系数等三个基本单元组合而成，试写出其激励xn和响应 yn之间关系的差分方程。 乘系数单元：输入为yn-1，输出为ayn-1； 加法器单元：输入为xn和ayn-1，输
5、出为yn。 因此，针对加法器可以写出： yn = xn + ayn-1 移项整理可得： yn-ayn-1 = xn(8.1-2) -一阶常系数线性后向差分方程 解： 单位移位（延时）器：输入为yn， 输出为yn-1； 9 8.1.2 差分方程 -一阶常系数线性前向差分方程 例8.1-4 将图8.1-5所示的离散系统中的延时器位置稍做调整， 组成如图8.1-6所示的系统，试写出其输入、输出关系式。 延时器的输出为yn，则输入必为 yn+1，即加法器输出为yn+1，针对 加法器可写出 yn+1 = xn + ayn 解： 即 yn+1-ayn = xn (8.1-3) 10 8.1.2 差分方程
6、yn-a1yn-1-a2yn-2 = b0xn + b1xn-1 + b2xn-2 (8.1-4) 例8.1-5 对图8.1-7所示的离散系统，试写出其输入、输出关系式。 解： 11 8.1.2 差分方程 差分方程的求解方法 1递推解法（迭代法） 2时域经典法 3零输入、零状态响应解法 4z变换法 例：yn-ayn-1 = xn 设输入 xn=n， 并假设 y-1=0， y0 = x0 + ay-1 = 1 y1 = x1 + ay0 = a y2 = x2 + ay1 = a 2 yn = xn + ayn-1 = a n 此范围仅限于n 0， 故 yn = anun 5状态空间分析法 12
7、 8.2 常系数线性差分方程的求解 (8.2-2) 8.2.1 线性常系数差分方程的时域经典法求解 一般地，常系数线性差分方程的解由齐次解和特解组成。 式(8.2-2)所对应的齐次方程的形式为： (8.2-3) 齐次差分方程的齐次解为 (8.2-9) 13 8.2.1 线性常系数差分方程的时域 经典法求解 其中1，2，N为差分方程(8.2-2)或(8.2-3)的特征方程 （8.2.8）特征根，且是单根。 (8.2-9) (8.2-8) 系数C1，C2，CN是由差分方程边界条件决定的系数。 例8.2-1 设描写某系统的齐次差分方程为 yn - 0.7yn-1 + 0.1yn-2 = 0， 并设
8、y-1= -26，y-2= -202， 求该差分方程的齐次解。 14 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 差分方程的特征方程为： 2 - 0.7 + 0.1=0 求得特征根为： 1 = 0.2，2 = 0.5， 于是齐次解为： yn = C1(0.2)n + C2(0.5)n 将已知的边界条件y-1= -26，y-2= -202代入原方 程式，通过迭代求出y0和y1： y0 = 0.7 y-1 - 0.1 y-2 = -18.2 + 20.2 = 2 y1 = 0.7 y0 - 0.1 y-1 = 1.4 + 2.6 = 4 将y0和y1分别代入上述解中，得到一组联立方程 由此求
9、得系数, C1 = -10，C2 = 12，则方程的解为 yn = -10 (0.2)n + 12 (0.5)n 解： 15 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 特征方程有重根 假定1是特征方程式的K重根，那么，在齐次解中，相 应于 1的部分将有K项 (8.2-10) 例8.2-2 求下述差分方程的齐次解。 yn -2yn-1 +2yn-2 -2yn-3+ yn-4 = 0 已知边界条件为： y1=1, y2 =0, y3 =1, y5 =1。 解：特征方程为 4-23 +2 2 -2 +1 = 0 即 ( -1)2(2 + 1) = 0 特征根为 1 = 2 =1（二重根），3
10、 = j, 4 = -j（共轭复根） 16 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 特征方程有重根 1 = C1+C2+Q 0 = 2C1+C2-P 1 = 3C1+C2-Q 1 = 5C1+C2+Q 由上述方程组解得 C1 = 0, C2 = 1, P = 1, Q = 0 从而有 17 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 例8.2-3 图8.2-1是一个链形电阻网络，设信号源的电压为x(t)， 试确定输出端的电流y(t)（注：本例的链形网络不是一个离散时 间系统，因为n不是时间变量，而是表示节点的序号，如前所述 差分方程中变量的选取因具体函数而异，并不仅限于时间）
11、。 解：根据该网络的结构和电阻值，设从右往左数的第 n个节点的对地电压为vn，则有 18 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 对2 n 100的节点，则有 整理后得 该二阶差分方程式的特征方程为 特征根为 于是节点电压的一般表达式为 19 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 根据初始条件，有 所以 从而有 显然，当n = 100时，有v100 = x(t)，于是求得 20 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 特解的求解 (C0+C1n+C2n2+ + Cr-1nr-1+Crnr )n （是方程的r重特征根） n Ce n Cn （不是方程的特征根） n
12、 C0+C1n+C2n2+ + Ck-1nk-1+Cknk C1sin n+C2cos n sin n（ cos n） C0+C1n A e j n（A为复数）e j n B（常数） 特 解 形 式自 由 项特 解 形 式 e n （为实数 ） n k n C （常数） 自 由项 21 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 例8.2-4 求差分方程 的完全解。 解：（1）齐次解为 代入差分方程的右端，得自由项为 从而特解为 ，且边界条件为其中激励信号为 （2）将 其中，D1和D2为待定系数，代入原方程得 22 8.2.1 线性常系数差分方程的时 域经典法求解 比较两端系数得到 所以
13、特解为 完全解为 （3）将边界条件代入上式，可得 从而C = 8/9 所以完全响应为 23 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与零状态响应求解 自由响应齐次解 (8.2-11) 强迫响应 = ypn = 特解 (8.2-12) 完全解 (8.2-13)完全响应 完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 24 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与零状态响应求解 若系统的激励序列xn = 0，仅由系统的起始状态y-1, y -2, , y-N 引起的响应，称为离散系统的零输入响应， 常用yzi n表示。 零输入响应： 若激励序列xn在n = 0时接入系统，则系统的零状态指 y-
14、 1 = y-2 = = y-N = 0，此时，仅由激励序列xn所引起 的响应，称为离散系统的零状态响应，常用yzsn表示。 零状态响应： yn = yzin + yzsn(8.2-14) 25 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与零状态响应求解 (8.2-17) 强迫 响应 自由 响应 零输入 响应 零状态 响应 例8.2-5 已知某系统的差分方程为 试分别求下面两种起始状态下的完全响应。 （1）y-1 = 0， （2）y-1 = 1 26 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与零状态响应求解 解： （1）齐次解为 当n 0时，方程右端自由项为常数1/3，故可假设特解为D ，将其代入差分方程，解得D = 2/3。从而完全解为 再将y-1 = 0代入yn，可得到C = -1/3。所以完全响应（零 状态响应）写为 27 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与零状态响应求解 （2）齐次解为 当n 0时，方程右端自由项为常数1/3，故可假设特解为D ，将其代入差分方程，解得D = 2/3。从而完全解为 再将y-1 = 1代入yn，可得到C = 1/6。所以完全响应为 28 8.2.2 线性常系数差分方程的零 输入响应与
