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1、通信原理 第2章 确知信号 第2章 确知信号 l2.1 确知信号的类型 n按照周期性区分： u周期信号： T0信号的周期， T0 0 u非周期信号 n按照能量区分： u能量信号：能量有限， u功率信号： p归一化功率： p平均功率P为有限正值： n能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于 第2章 确知信号 l2.2 确知信号的频域性质 n2.2.1 功率信号的频谱 u周期性功率信号频谱（函数）的定义 式中，f0 1/T0，n为整数，- n +。 双边谱，复振幅(2.2 4) |Cn| 振幅， n相位 第2章 确知信号 u周期性功率信号频谱的性质 p对于物理可实现的实信号，由式(2.21)有 正
2、频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即 Cn的模偶对称 Cn的相位奇对称 n 102345-2-1-3-4-5 |Cn| (a) 振幅谱 102 3 45 -2-1 -3 -4-5 n n (b) 相位谱 第2章 确知信号 将式(2.25)代入式(2.22)，得到 式中 式(2.28)表明： 1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, )。 2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于 4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。 称为单边谱。 第2章 确知信号 p若s(t)
3、是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为 而 所以Cn为实函数。 第2章 确知信号 u【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。 由式(2.2-1)： 0 T-T t V s(t) C n 第2章 确知信号 u【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。 由式(2.2-1) ： 因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。 T-T t 0 V s(t) 第2章 确知信号 u【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。 由式(2.2-1)： 由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。 t 1 s(t) 第2章 确知信号 n2.2.2 能量信号的频谱密度 u频谱密度的定义： 能量信号s(t) 的
4、傅里叶变换： uS(f)的逆傅里叶变换为原信号： uS(f)和Cn的主要区别： pS(f)是连续谱，Cn是离散谱； pS(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。 u注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱 密度简称为频谱。 u实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位 奇对称，即复数共轭，因 u【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 设 它的傅里叶变换为 矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这 里它等于(1/) Hz。 第2章 确知信号 1 (b) Ga(f) t 0 (a) ga(t) Ga(f) ga(t) f 1/ 2/ -2/ -1/ 0 图2-5 单位门函数 单位门函数
5、第2章 确知信号 u【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。 p函数的定义： p函数的频谱密度： p函数的物理意义： 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1 的脉冲。 第2章 确知信号 p函数的性质1： 函数可以用抽样函数的极限表示： 因为，可以证明 式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。 （见左图） 和下式比较： (2.2-26) 可见 (2.2-28) 即抽样函数的极限就是函数。 t t t 第2章 确知信号 p函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度 f (f) 1 0 t (t) 0 第2章 确知信号 p函数的性质3： (2.2-30
6、) 【证】因为 物理意义：可以看作是用函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。 由于单位冲激函数是偶函数，即有(t) = (-t)，所 以式(2.2-30)可以改写成： (2.2-31) p函数的性质4： 函数也可以看作是单位阶跃函数 的 导数。 单位阶跃函数的定义： 即u(t) = (t) p用函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。 1 0 t 图2-8 单位阶跃函数 第2章 确知信号 第2章 确知信号 p【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)按 式(2.2-21)计算，可以写为 参照式(2.2-28)，上式可以改写为
7、 引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。 f0f00 (b) 频谱密度 t (a) 波形 第2章 确知信号 n2.2.3 能量信号的能量谱密度 u定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理 (2.2-37) 将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为 (2.2-38) 式中 G(f) = |S(f)|2 能量谱密度 u由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数 , 因此上式可以改写成 (2.2-40) 第2章 确知信号 u【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度： 故由式(2.2-39)得出 第2章 确知
8、信号 n2.2.4 功率信号的功率谱密度 u定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 t T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能 量谱密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有 (2.2-41) 将 定义为信号的功率谱密度P(f) ，即 第2章 确知信号 u周期信号的功率谱密度： 令T 等于信号的周期T0 ，于是有 (2.2-45) 由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理: (2.2-46) 式中 |Cn|2 第n次谐波的功率 利用函数可将上式表示为 (2.2-47) 式中 上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即 (2.2-48) 第2章 确知信号
9、 u【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。 该例中信号的频谱已经求出，它等于式(2.2-14)： 所以由式(2.2-48)： 得出 (2.2-50) 0 T-T t V s(t) 第2章 确知信号 l2.3 确知信号的时域性质 n2.3.1 能量信号的自相关函数 u定义： (2.3-1) u性质： p自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。 p当 = 0时，R(0)等于信号的能量： (2.3-2) pR()是 的偶函数 (2.3-3) p自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换： 第2章 确知信号 n2.3.2 功率信号的自相关函数 u定义： (2.3
10、-10) u性质： p当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率： (2.3-11) p功率信号的自相关函数也是偶函数。 u周期性功率信号： p自相关函数定义： (2.3-12) pR()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系： 第2章 确知信号 u【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+)的自相关函数 。 【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换 ，即可求出其自相关函数。 p求功率谱密度：结果为 p求自相关函数： 第2章 确知信号 n2.3.3 能量信号的互相关函数 u定义： u性质： pR12()和时间 t 无关，只和时间差 有关。 pR12()和两个信号
11、相乘的前后次序有关： 【证】令x = t + ，则 p互相关函数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换 互能量谱密度的定义为： (2.3-23) 第2章 确知信号 n2.3.4 功率信号的互相关函数 u定义： u性质： pR12()和时间t 无关，只和时间差 有关。 pR12()和两个信号相乘的前后次序有关： R21() = R12(-) p若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的 定义可以写为 式中 T0 信号的周期 pR12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系： 互功率谱定义： 第2章 确知信号 l小结 n能量信号、功率信号 n确知信号再频域中的四种性质：频谱、频谱密度、能量 谱密度、功率谱密度 n确知信号在时域中的 特性：自相关函数、互相关函数 n欢迎下载！
