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1、15 线性代数练习题线性代数练习题 第三章第三章 线性方程组线性方程组 一选择题： 1设A是nm矩阵，bAx =有解，则 C C （A）当bAx =有唯一解时，nm = （B）当bAx =有无穷多解时，)(AR m （C）当bAx =有唯一解时，=)(ARn （D）当bAx =有无穷多解时，0=Ax只有零解 2设A是nm矩阵，如果nm ，则 C C （A）bAx =必有无穷多解 （B）bAx =必有唯一解 （C）0=Ax必有非零解 （D）0=Ax必有唯一解 3设A是nm矩阵，齐次线性方程组0=Ax仅有零解的充要条件是)(AR D D （A）小于 m （B）小于 n （C）等于 m （D）等于
2、n 二填空题： 设 += 21 232 121 a aA， = 0 3 1 b， = 3 2 1 x x x x （1）齐次线性方程组0=Ax只有零解，则 31aa 或 （2）非齐次线性方程组bAx =无解，则 a = 1= 三计算题： 1 求解非齐次线性方程组 =+ =+ =+ 12 224 12 wzyx wzyx wzyx 21 312 2 211112111121001 421120011000110 211110002000020 1 212 0. 0 20 0 rr rrrr c x xy yc zw z w w + = += = = = = = 2取何值时，非齐次线性方程组 =+
3、 =+ =+ 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 有唯一解 无解 有无穷多解 16 32 11 1132(1) (2) 11 111111 111000 111000 111111 212212 124003 =+=+ 当1,2时，方程有唯一解 11 当 =1时 10，有无穷多解； 10 22 当 =2时11，方程组无解。 10 17 第二节第二节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 第三节第三节 向量组的线性相关性（一）向量组的线性相关性（一） 一选择题 1n 维向量 s , 21 )(0 1 线性相关的充分必要条件是 D （A）对于任何一组不全为零的数组都有0 221
4、1 =+ ss kkk （B） s , 21 中任何)(sjj个向量线性相关 （C）设),( s A 21 =，非齐次线性方程组BAX =有唯一解 （D）设),( s A 21 =，A 的行秩 s. 2若向量组,线性无关，向量组,线性相关，则 C （A） 必可由,线性表示 （B） 必不可由,线性表示 （C） 必可由,线性表示 （D） 比不可由,线性表示 二填空题： 1 设 TTT ),(,),(,),(043110011 321 = 则= 21 (1,0, 1)T =+ 321 23 (0,1,2)T 2 设)()()(+=+ 321 523，其中 T ),(3152 1 = ， T )10,
5、 5 , 1 ,10( 2 = T ),(1114 3 = ，则= (1,2,3,4)T 3 已知 TTT k),(,),(,),(84120011211 321 =线性相关，则=k 2 4 设向量组),(, ),(, ),(bacbca000 321 =线性无关，则cba,满足关系式 0abc 三. 计算题： 1. 设向量() 1 111, , T k=+， T k),(111 2 += ， T k),(111 3 += ， T kk),( 2 1= ，试问当k为何值时 （1） 可由 321 ,线性表示，且表示式是唯一？（2） 可由 321 ,线性表示，且表示式不唯一？（3） 不能由 321
6、 ,线性表示？ 解：因为 13 2 123 2 1110111 (,)111111 1111110 + =+ + + rr ， 2 2 2 111 0 00(3)(1 2) + + r ， 18 123123 (1)03, (,)(,)3 =RR且时， 123 ,; 可由线性表示 且表达式唯一 123123 (2)0, (,)(,)13 = ，则nr = 二填空题： 1已知向量组),(,),(,),(25400021121 321 =t的秩为 2，则 t = 3 2已知向量组),(4321 1 = ，),(5432 2 = ，),(6543 3 = ，),(7654 4 = ，则该向量组的秩为
7、 2 1 向量组 T a),(13 1 = ， T b ),(32 2 = ， T ),(121 3 = ， T ),(132 4 = 的秩为 2， 则 a = 2 b = 5 三计算题： 1设 T ),(5113 1 = ， T ),(4112 2 = ， T ),(3121 3 = ， T ),(9225 4 = ， T d),(262= （1）试求 4321 ,的极大无关组 20 （2）d 为何值时， 可由 4321 ,的极大无关组线性表示，并写出表达式 13 4321 313 51 23 1234 3( 1) 5 32151112 11221122 (1)(,) 11123215 54
8、395439 11121112 00100010 01210121 01210000 1112 0121 rr rrrr rrr rr rr = 解： = 解： 3241 4342 43 12312312 1231234 0010 0000 (,)3,. , 321232123212 112611261126 111211120014 54300110 rrrr rrrr rr R dd =+ =+ 4 4 因为则线性无关，且 故为的一个极大无关组. (2) 因为则线性无关，且 故为的一个极大无关组. (2) ()() 123123 1234123 123 0006 6(,),3, , 321
9、20104 11261002 00140014 00000000 244. r d dRR = + 只有时 即 可由的极大无关组表示. 所以= = + 只有时 即 可由的极大无关组表示. 所以= 21 第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 一选择题： 1设 A 是45矩阵，),( 4321 =A，已知 T ),(4020 1 = ， T )4 , 5 , 2 , 3( 2 = 是0=Ax的基础解系，则 D （A） 31 ,线性无关 （B） 42 ,线性无关 （C） 1 不能被 43 ,线性表示 （D） 4 能被 32 ,线性表示 2设 A 是45矩阵，若bAx =有解， 21 ,
10、是其两个特解，导出组0=Ax的基础解系是 21 ,，则不正确的结 论是 B （A）bAx =的通解是 12211 + kk （B）bAx =的通解是)( 212211 + kk （C）bAx =的通解是2 2122211 / )()(+kk （D）bAx =的通解是 21122211 2+)()(kk 3 设 321 ,是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组bAx =的 三 个 解 向 量 ， 且3=)(AR， T ),(4321 1 = ， T ),(3210 32 =+，C 表示任意常数，则线性方程组bAx =的解是 C （A） TT C) 1 , 1 , 1 , 1 ()4 , 3 , 2 , 1 (+ （B） TT C)3 , 2 , 1 , 0()4 , 3 , 2 , 1 (+ （C） TT C)5 , 4 , 3 , 2()4 , 3 , 2 , 1 (+ （D） TT C)6 , 5 , 4 , 3()4 , 3 , 2 , 1 (+ 4齐次线性方程组 =+ =+ =+ 0 0 0 321
