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1、广告经营许可证号：2301004000015育才报 社地址：哈尔滨市道里区田地街 100 号邮编：150010 印刷： 北京世纪华彩印务有限责任公司本学期总定价： 26.00 元 1 九年级 B第2期 数学长廊 适 用 于 B 编辑部质量反馈热线：0431-81041508刘老师投诉电话：0791-86855729张老师 九年级 第期 2 1 山东王芳 正方形是一种完美的四边形，它具有平行四边形、 菱形、 矩形的一切性质， 正方形可结合对称、 旋转、 折叠 等解决问题. 一、结合对称解题 例 1如图 1， E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点， 已 知 AE = 10cm， 求 CE
2、 的长援 分析：正方形 ABCD 是轴 对称图形， 其中 BD 所在的直线 是它的一条对称轴， 点 A， C 为一组对称点， 点 E 在对角 线上， 故 AE 和 CE 是一组对称线段. 解： 因为正方形 ABCD 关于 BD 所在直线对称， 点 A 的对称点为点 C， 点 E 在对称轴上， 所以线段 AE， CE 是 一组对称线段， 所以 CE = AE = 10cm. 二、结合旋转解题 例 2如图 2，正方形 ABCD 中， P， Q 分 别 为 BC， DC 上的点， 若蚁1 = 蚁2. PB = 3cm， DQ = 4 cm， 求 PA 的长. 分析：本题难度较大， 仅 供同学们拓展所
3、学知识.解决本题可借助旋转把吟ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90毅得吟ABE， 只要说明 P， B， E 在同 一条直线上， 并说明 PE = PA， 即可求得 PA 的长. 解：将吟ADQ 顺时针旋转 90毅得到吟ABE， 则 BE = DQ = 4cm， 蚁1 = 蚁4， 蚁5 = 蚁E， 蚁6 = 蚁D = 90毅. 在正方形 ABCD 中， 蚁7 = 蚁D = 90毅， 所以蚁6 + 蚁7 = 180毅， 即点 E， B， P在同一直线上. 又因为 AB椅CD， 所以蚁5 = 蚁2 + 蚁3. 又因为蚁1 = 蚁2， 所以蚁5 = 蚁1 + 蚁3 = 蚁4 + 蚁3. 所以蚁5 = 蚁
4、E = 蚁4 + 蚁3 = 蚁PAE. 所以 PA = PE. 所以PA = PB + BE= 3 + 4 = 7. 三、结合折叠解题 例 3如图 3， 将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠， 使点 D 落 在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处， 折痕为 MN， 则线段 CN 的 长是 （） . A. 3cmB. 4cm C. 5cmD. 6cm 分析：由折叠，可得 DN = EN. 根据 E 为 BC 的中 点， 可求到 CE = 4， 由 CN = CD - DN 可找到 EN 与 CN 之间的关系， 从而可借助勾股定理求出 CN 的长. 解：由折叠， 得 DN = EN
5、， 在 Rt吟CEN 中， 设 CN = x， 则 EN = DN = 8 - x， CE = 4. 由勾股定理，得 x2+ 42= （8 - x） 2， 整理， 得 x2+ 16 = 64 + x2- 16x.即 16x = 48.解得 x = 3. 故选 A. AD Q C PB E 5 1 2 34 67 图 2 矩 形 考 题 新 风 采 一、折纸性质解决线段长度问题 例 1如图 1，将矩形纸 ABCD 的 4 个角向内折 起， 恰好拼成一个无缝隙无重 叠的四边形EFGH， 若 EH 越 3cm， EF 越 4 cm，则边 AD 的长是 cm. 分析：因为折纸过程是全 等变换， 仔细观
6、察图形找到全等 图形， 从而找到等量关系问题可迎刃而解. 解：由折叠可知， 吟EAH 与吟ENH 重合， 吟EBF与 吟ENF重合. 亦 蚁AEH = 蚁NEH， 蚁BEF = 蚁NEF. 亦 蚁HEF = 90毅. 同理蚁EHG = 蚁EFG = 90毅. 亦 四边形 EHGF为矩形， 亦 EF = HG. 亦 吟BEF艺吟DGH （AAS） . 亦 BF = DH. 由折叠可知， AH = HN， BF = NF = DH， 疫 EH 越 3cm，EF 越 4cm， 亦 HF = 5cm. 亦 AD = HF = 5cm. 故填 5. 二、折纸性质解决角度大小问题 例 2如图 2，将矩形
7、ABCD 沿BE折叠， 若蚁CBA忆 = 30毅， 则蚁BEA忆 =援 分析：利用折纸后得到 的全等三角形求解. 解： 由题意， 可得吟EAB艺 吟EA忆B， 亦 蚁ABE = 蚁A忆BE. 疫 蚁CBA忆=30毅， 蚁ABC=90毅， 亦 蚁A忆BE = 蚁ABE = 30毅. 疫 蚁A = 蚁A忆 = 90毅， 亦蚁BEA忆 = 60毅. 故填 60毅. 三、折纸性质解决面积计算问题 例 3矩形纸片 ABCD 的边长 AB = 4， AD = 2援将 矩形纸片沿 EF 折叠， 使 点A 与点 C 重合， 折叠后在 其一面着色 （如图 3 所示） ， 则着色部分的面积为 （） . A援 8B
8、援 5.5 C援 4D援 2.5 分析：由于折纸是全等变换， 所以可把要求的阴影 面积转化为如图 4 所示的阴 影面积，由勾股定理可求出 AE 和 DF的长，进而用总面 积减去吟AEF 的面积即可得 阴影部分的面积. 解：将图 3 阴影部分换 化为图 4 阴影部分. 由题意， 可得吟FAD艺吟FCG， 吟AEF艺吟CEF. 设 DF = x. 由勾股定理， 得 x2+ 22=（4 - x） 2. 解得 x = 1.5， 即 DF = 1.5. 亦 FC = 4 - DF = 2.5. 亦 S吟AEF= S吟CEF= 1 2 伊 2.5 伊 2 = 2.5. 亦 S阴影= 2 伊 4 - 2.5
9、 = 5.5. 故选 B. BA CD E 图 4 F G 4 - x x 2 四边形的折纸计算问题 河北张明宇 B C AD E F H M N 图 1 G 众所周知， 菱形是一种特殊的 平行四边形， 是研究几何图形的基 础， 它的许多重要的特性在处理几 何问题中广泛运用，特别是近年 来， 有关菱形的特色题目频频出现 在中考试卷上. 为帮助同学们学 习， 现举例说明如下： 一、规律探索题 例 1如图 1， 两个全等菱形 的边长为 1 米， 一个微型机器人由 点 A 开始按 ABCDEFCGA 的顺 序沿菱形的边循环运动，行走 2 014 米停下， 则这个微型机器人 停在点. G A B C
10、D F E 图 1 分析：由题意可知， 微型机器人每走 8 米一循环.因 为 2014 衣 8 = 2516， 所以行走 2014 米停在点 C. 解：填 C. 二、判断说理题 例 2如图 2，在四边形 ABCD 中， 点 E， F 是对角线 BD 上的两点， 且 BE = DF援如果四 边形 AECF是菱形， 那么四边形 ABCD 也是菱形吗？为什么？ 分析：要说明四边形 ABCD 是菱形， 可根据三角形 全等说明 AB = BC = CD = AD， 利用菱形的判定方法： 四边相等的四边形是菱形， 问题即可解决. 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由：疫 四边形 AECF是菱形， 亦 AE
11、 = CE， 蚁AEF = 蚁CEF. 亦 蚁AEB = 蚁CEB. 疫 BE = BE， 亦 吟ABE艺吟CBE （SAS） . 亦 AB = BC. 同理， 可得 AD = CD. 疫 BE = DF，亦 吟BEC艺吟DFC （SAS） . 亦 BC = CD. 亦 AB = BC = CD = AD. 亦 四边形 ABCD 是菱形. 吉 林 孙 桂 英 菱 形 特 色 题 解 析 A忆 B A C D E 图 2 B A C D E 图 3 F G 河 北 欧 阳 庆 红 一、图形信息型 例 1如图 1，一块砖的外 侧面积为 x，那么图中残留部分 墙面的面积为 （） . 图 1 1 x
12、1 2 x 1 A援 4xB. 12x C. 8xD. 16x 解析：由图可知， 砖的外侧 面积分别为 x 和1 2 x.图中残留部 分有 10 个 x， 4 个 1 2 x， 这部分墙 面的面积总和为 12x. 故选 B. 二、动手操作型 例 2跟我学剪五角星： 如图 2 所示， 先将一张长方 形纸片按图 2 （1） 的虚线对折， 得到图 2 （2） ， 然后将图 2 （2） 沿虚线折叠得到图 2 （3） ， 再将图2 （3） 沿虚线 BC 剪下 吟ABC， 展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星 （如图2 （4） 所示， 正五角星的 5个角都是 36毅） ， 则在图 2 （3） 中应
13、沿什么角度剪？即蚁ABC 的度数为 （） . A. 126毅B. 108毅C. 90毅D. 72毅 图 2 A B C （1）（2）（3）（4） C B A 解析：本题一方面考查学生的空间想象能力， 另一 方面还考查同学们的动手操作能力.当同学们的空间想 象受到影响时， 可直接折纸、 剪纸， 得到答案.本题通过 操作找到五角星中对应的蚁ABC， 然后应用三角形内角 计算出蚁ABC = 180毅 - 蚁ACB - 蚁BAC = 180毅 - 18毅 - 36毅 = 126毅. 故选 A. CD AB E 图 1 知识网络图示 四 边 形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 有一组对边 平行且相等 有
14、一组邻边相等有一个角是直角 有一组邻边 相等 有一个角是直角 有一个角是直角 一组邻边相等 揭示数学思想 1. 数形结合思想 数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之 间的内在联系， 既分析其数量关系， 又揭示其几何意义， 使数式与图形结合起来， 并利用这种结合探求解决问题 思路的思想方法. 例 1 如图 1， 正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上， 且 DM = 2， N 是 AC 上的一动点， DN + MN 的最小值为. 解析：点 B， D 关于 AC 对 称， 连接 BN 和 BM， 则线段 BM 的长即为 DN + MN 的最小值.在 Rt吟MBC 中， MC =
15、6， BC = 8， 根据勾股定理可求得 BM = 10. 故填 10. 2. 方程思想 方程思想是指对所求问题通过列方程 （组） 求解的 一种思维方法. 例 2如图 2，在矩形 ABCD 中， AB = 6， BC = 8， 若将矩形折叠， 使点 B 与点 D 重合， 则折痕 EF 的长 为 （） . A. 15 2 B. 15 4 C. 5 D. 6 解析：因为点 B， D 关于 EF 对称，连接 EB， 则 EB = ED.设 ED = x， 则 AE = 8 - x. 在 Rt吟ABE 中， 由勾股定理， 得 62+（8 - x） 2 = x2. 解得 x = 25 4 . 亦 AE
16、= 7 4 . 作 AG椅EF， 交 BC 于点 G， 则 EF = AG. 亦 GF = AE = 7 4 . 又 疫 BF = BE = 25 4 ， 亦 BG = 9 2 . 在 Rt吟ABG 中， AG =62+ 9 2 蓸蔀 2 姨 = 15 2 . 亦 EF = 15 2 . 故选 A. 专题分类讲解 专题 1： 与特殊平行四边形有关的计算问题 通过本专题复习， 应能够熟练运用特殊平行四边形 的性质解决计算题. 例 3如图 3， 在矩形ABCD 中， AB 越 2， BC 越 3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD， BC 于 点 E， F， 连接 CE， 则 CE 的长为 . 解析：本题可根据矩形、 线段垂直平分线的性质， 利用勾股定理构造方程求解. 设 AE = x， 则 DE = 3 - x. 疫 EF垂直平分 AC， 亦 AE = CE = x. 在 Rt吟DEC 中， DC2+ DE2= CE2， 即 22+（3 - x） 2 = x2. 解得 x = 13 6 . 故填 13 6 . 例 4如图 4，在正方形 ABCD 中， AF 交对角线 BD
