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1、初等数论模拟试题二 一、单项选择题 1、), 0(b（C ）. A b B b C b D 0 2、如果ab，ba，则(D ). A ba B ba C ba D ba 3、如果1),(ba，则),(baab=（C ）. A a B b C 1 D ba 4、小于 30 的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于 10 且小于 30 的素数有（ C ）. A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 6、如果n3，n5，则 15（A ）n. A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 7、在整数中正素数的个数（C ）. A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一
2、定 二、计算题 1、 求 24871 与 3468 的最大公因数? 解： 24871=34687+595 3468=5955+493 595=4931+102 493=1024+85 102=851+17 85=175, 所以,(24871,3468)=17. 2、 求24871,3468=? 解：因为 （24871,3468）=17 所以 24871,3468= 17 346824871 =5073684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。 3、求136,221,391=? 解解： 136,221,391=136,221,391 =391, 17 221136
3、=1768,391 = 17 3911768 =104391=40664. 三、证明题 1、 如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,使得rbqa, 其中br 0. 证明证明 ：首先证明唯一性.设 q , r 是满足条件的另外整数对,即 rqba,br 0. 所 以rbqrqb, 即rrqqb,rrqqb. 又 由 于 br 0,br 0,所以brr.如果qq,则等式rrqqb不可 能成立. 因此qq,rr. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列 ,3 ,2 , 0 ,2,3bbbbbb 则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使 bqaqb1. 我们设qbar,则有r
4、bqa,br 0. 2、 证明对于任意整数n,数 623 32 nnn 是整数. 证明：证明： 因为 623 32 nnn =)32( 6 2 nn n =)2)(1( 6 1 nnn, 而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数,3 个连续整数的乘积是 3 的倍 数, 并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2nnn和)2)(1(3nnn有)2)(1(6nnn, 即 623 32 nnn 是整数. 3、 任意一个n位数 121 aaaa nn 与其按逆字码排列得到的数 nn aaaa 121 的差必是 9 的倍数. 证明证明： 因为 121 aaaa nn 12 2 1 1 101010aaaa
5、n n n n , nn aaaa 121 = nn nn aaaa 101010 1 2 2 1 1 , 所以, 121 aaaa nn - nn aaaa 121 = ).101 ()101 (10 ) 110(10) 110( 1 1 3 2 3 1 1 nn n n n n aa aa 而上面等式右边的每一项均是 9 的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、 证明相邻两个偶数的乘积是 8 的倍数. 证明证明: 设相邻两个偶数分别为)22( ,2nn 所以)22(2nn=) 1(4nn 而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数 即) 1(4nn是 8 的倍数. 初等数论模拟试题初等数论模拟试题
6、三三 一、单项选择题 1、如果( A ),则不定方程cbyax有解. A cba),( B ),(bac C ca D aba),( 2、不定方程210231525yx（A ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程 1、144219yx. 解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； 化简得4873 yx； 考虑173 yx，有1, 2yx， 所以原方程的特解为48,96yx， 因此，所求的解是Zttytx,348,796。 2、18176yx. 解：因为 18)17, 6(,所以有解; 考虑1176yx,1, 3yx; 所以18,54yx是特解, 即原方程的解
7、是 tytx618,1754 3、2537107yx. 解：因为（107，37）=125，所以有解； 考虑137107yx， 有26, 9yx， 所以，原方程特解为259x=225，2526y=-650， 所以通解为tytx107650,37225 4.求不定方程471325zyx的整数解. 解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4. 利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4, 所以,上面两个方程的解分别为 1 1 252 13 kty ktx , 2 2 4 732 kz kt . 消去 t 就得到所求
8、的解 2 21 21 4 142564 71332 kz kky kkx , 这里 21,k k是任意整数. 5.求不定方程8594zyx的整数解. 解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 4x-9y=t, t+5z=8. 利用求二元一次不定方程的方法,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8, 所以,上面两个方程的解分别为 1 1 4 92 kty ktx , 2 2 8 548 kz kt . 消去 t 就得到所求的解 2 21 21 8 5448 10996 kz kky kkx , 这里 21,k k是任意整数. 初等数论模拟试题初等数论模拟试题四四 一、选择题
9、 1、整数 5874192 能被( B )整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 2、整数 637693 能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模 5 的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod mba ,c是任意整数,则（A ） A )(modmbcac B ba C ac)(mod mbc D ba 二、解同余式（组） （1）)132(mod2145 x. 解 因为(45,132)=321,所以同余式有 3 个解. 将同余式化简为等价的
10、同余方程 )44(mod715 x. 我们再解不定方程 74415yx, 得到一解(21,7). 于是定理 4.1 中的21 0 x. 因此同余式的 3 个解为 )132(mod21x, )132(mod65)132(mod 3 132 21x, )132(mod109)132(mod 3 132 221x. （2）)45(mod01512x 解 因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为 3. 又同余式等价于)15(mod054x,即yx1554. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理 4.1 中的10 0 x. 因此同余式的 3 个解为 )45(m
11、od10x, )45(mod25)45(mod 3 45 10x, )45(mod40)45(mod 3 45 210x. （3）)321(mod75111 x. 解 因为(111,321)=375,所以同余式有 3 个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod2537 x. 我们再解不定方程 2510737yx, 得到一解(-8,3). 于是定理 4.1 中的8 0 x. 因此同余式的 3 个解为 )321(mod8x, )321(mod99)321(mod 3 321 8x, )321(mod206)321(mod 3 321 28x. （4） )9(mod3 )8(mod2 )
12、7(mod1 x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理 5.1.我们先解同余式 )7(mod172 x,)8(mod163 x,)9(mod156 x, 得到)9(mod4),8(mod1),7(mod4 321 xxx.于是所求的解为 ).494(mod478)494(mod510 )494(mod3)4(562) 1(631472 x （5） )9(mod5 )7(mod3 )5(mod2 )2(mod1 x x x x . (参考上题) 三、证明题 1、 如果整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数. 证明 设a是一正整数,并将a写成 10 进位数的形式: a= 1 10 1010 nn nn aaa ,010 i a. 因为 100(mod5), 所以我们得到 )5(mod 0 aa 所以整数a的个位数是 5,则该数是 5 的倍数. 2、证明当n是奇数时，有) 12(3 n . 证明 因为)3(mod12,所以 )3(mod1) 1(12 nn . 于是,当n是奇数时,我们可以令12 kn. 从而有) 3(mod01) 1(12 12 kn , 即) 12(3 n . 初等数论模拟试题初等数论模拟试题四四 一、计算： 1、 判断同余式)593(mod438
