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1、多自由度线性系统的振动,5.3 多自由度无阻尼系统振动分析自由振动,无阻尼系统的自由振动分析包括固有模态分析和自由振动响应分析。无阻尼系统的自由振动方程的一般形式为：,为了更加清楚地说明多自由度系统的固有模态分析方法，仍以下图所示二自由度振动系统为例。前面已得出其自由振动微分方程为：,固有模态分析：确定多自由度系统的固有频率和相应的固有(主)振型。,多自由度线性系统的振动,由微分方程理论，假设以上方程的解为：,代入振动方程得：,(b),(a),多自由度线性系统的振动,合并矩阵对应项：,上式为关于b1、b2 的齐次代数方程，b1、b2 有非零解的条件(零解对应静止)：,上式称为振动系统的特征方程
2、。等号左端的行列式又称为系统的特征行列式，其展开式称为系统的特征多项式。由特征方程可解出，得两个根(按规定由小到大顺序排序)：,这是该二自由度系统的两个固有振动频率，分别称为第一阶固有频率和第二阶固有频率。,(c),多自由度线性系统的振动,则系统对应于第一阶固有频率的解是,这里b11、b21是系统按固有频率1振动时，两个自由度x1、 x2 (即质量块m1、m2)的振幅，它们组成系统按固有频率1振动时的形态，称为系统的固有振型(主振型)，对应于第一阶固有频率1的固有振型又叫第一阶固有振型。相应于2振动时的形态叫做第二阶固有振型。 其对应振动称为主振动(也称固有模态振动)。,将上式回代系统原方程可
3、得,多自由度线性系统的振动,将1、 2 分别代入原方程, 可解得B1、B2的元素相对比值,即系统的固有振型可由各个自由度上位移振幅的比来描述。,系统的第一阶主振动：,同理可得系统的第二阶主振动：,多自由度线性系统的振动,二自由度无阻尼系统的两个固有模态振动仅是可能存在的运动形式。欲使系统真正产生这样的运动，应满足一定的运动初始条件。由固有模态振动的解形式：,这说明：为使系统产生第r个固有振动，系统的初始位移、初始速度必须与该阶固有振型成上式给定的比例关系。这一点不同于单自由度无阻尼系统的固有振动(简谐的)。如果二自由度系统的初始条件不能满足上式，其自由振动则总是两个固有振动的线性组合。,则产生
4、第r个固有振动的初始条件是：,多自由度线性系统的振动,比如上例，可以将两个固有振型写成,在本算例已求出，r1=1，r2= -1，从而系统两个固有振型为(见右下图),则原系统的自由振动通解为,则自由振动响应为：,代入初始条件：,解得,自由振动响应为,多自由度线性系统的振动,此时响应为两个固有简谐振动的叠加，但已非周期(频率比会得无理数的简谐振动叠加)。,多自由度线性系统的振动,一般多自由度无阻尼系统的固有模态分析,N自由度无阻尼系统的自由振动方程,假设方程的解为,代入振动方程可得,令,上式改写成,这是一个数学上的广义特征值问题，由此解出其N个特征值i(i=1,2,3,N)，就可得到系统N个固有频率pi(i=1,2,3,N)。而相应的N个特征向量Xi，就是系统的N个固有振型。,多自由度线性系统的振动,或,实际求解时，利用矩阵的对称性，可用矩阵三角分解的方法。,对于标准特征值问题和广义特征值问题的数值求解，可用现成的程序计算其特征值和特征向量。,可以将广义特征值问题化为标准特征值问题，用标准方法求解：,如果仍用特征多项式的值为零来求解 p，当自由度数较大时，从计算上讲是不现实的，需要另找求解途径。,
