第1章测量误差理论

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1、误差理论与测量平差基础 测量误差理论测量误差理论 误差理论与测量平差基础 教师： 张 坤 TEL：13107485490 Q Q： 512245013 办公室：电信楼907 Email:zk_csuft 测绘工程 教研室 课程介绍 课程的地位 课程的学时安排 64学时+2周（11-12） 使用的教材 教学内容 例1: 一附合水准路线,已知A、B亮点的高程，观 测高差以及路线长如图，求待定点P的高程? 例2：如下图水准路线，已知A点的高程，观测高差 以及路线长均为已知，求各待定点的高程？ 课程介绍 图1图2 教学内容 课程介绍 我们已学过的方法是： (1)先计算高差闭合差； (2)然后将高差闭合

2、差与距离(或测站数)成比例 反号分配给每一段观测高差上(即计算改正数) ； (3)再计算各段改正后的高差； (4)利用改正后的高差去求待定点的高程。 以上称”近似平差”。 而本课程介绍的是“严密平差”,其平差过程是 有明显不同的! 误差理论与测量平差基础 测量误差理论 最小二乘平差 测量平差基础 测量平差计算 假设检验理论 点和线的位置误差 教学内容 课程介绍 近代测量平差 1-1 观 测 误 差 1-2 偶然误差的统计特性 1-3 衡量精度的指标 1-4 精度与准确度 本章教学内容 p重点、难点: 误差分类及其处理方法；衡量精度的指标以及精度和 准确度的联系与区别。 p本章学习的目的要求:

3、明确观测误差产生的原因； 掌握误差分类及其处理方法； 熟悉衡量精度的绝对指标和相对指标； 了解测量平差的任务和内容。 第1章 测量误差理论 n测量（观测）：观测者借助仪器在特定环境下 获取测量对象物理或者几何信息的活动。 n 观测数据如：距离，角度，高差等。 n 测量仪器：经纬仪，全站仪，GPS接收机等。 1.1 观测误差 1.1.1 观测条件与观测误差 u观测数据总是不可避免地带有误差的： 同一人丈量同一段距离N次，结果均不同； 观测结果不能满足其理论关系。 u观测误差定义： u观测误差产生的原因很多，概括起来有以下三种： 测量仪器、观测者、外界条件,又称为“观测条件”。 观测值获取离不开以

4、下观测条件： 观测条件 观测者 仪器 外界环境 感觉器官的 局限、技术 水平、工作 态度 仪器分辨 能力；具 有一定限 度的精密 度 温度、湿度、 风力 、大气 折光及变化等 结论1： 观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差 。即：观测误差是不可避免的！ 结论2： 观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 观测条件较好则观测质量较高； 观测条件较差则观测质量较低； 观测条件相同则观测质量相同。 1.1.2 观测误差产生的原因 观测误差产生原因很多，概括起来，有以下三个方面的原因。 1、观测者的原因 2、仪器的原因 3、外界条件的原因 人的感觉器官的鉴别力不是很完善、准确。 每一

5、种仪器只具有一定的精密度。 外界条件是不断变化的。 1.1.3 观测误差的分类及其处理方法 观测误差 粗 差 系统误差 偶然误差 根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为以下三类： 1、粗差 产生的主要原因： 作业人员的疏忽大意、失职而引起的，如读错、记错、瞄错 目标、计算机输入数据错误、控制网起始数据错误等。 发现、剔除粗差的方法： 进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核 、验算等，发现后舍弃或重测 。 概念： 粗差即粗大误差，或者说是一种大量级的观测误差，是由于 测量过程中的差错造成的。 2、系统误差 概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出 一

6、致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差 就称为系统误差。 产生原因： 由于仪器构造有缺限或检验校正不严格而产生的，它的变化有一定的规 律。例如：钢尺量距时，钢尺尺长误差引起的量距误差与所测距离长度成 正比增加；水准测量的i角误差等。可见该误差具有累积性！ 消除或削弱的方法： 采取合理的操作程序（正、倒镜，中间法，对向观测等）；用公式改正 ，即加改正数。 3、偶然误差 概念： 在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表 现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但 就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差, 也叫随

7、机误差。 产生的原因： 偶然误差产生的原因很多，往往难以预知和控制。如空气不稳定、被观 测目标的亮度较差、仪器本身构造不严密或无法完善；观测者的感觉器官 受一定的限制等等，均会使观测值有时大于被观测量的真值，有时又小于 被观测量的真值。可见，偶然误差是不可避免的！ 采取措施： 处理带有偶然误差的观测值，就是本课程的内容，也叫做测量平差。 1.1.4 测量平差的任务 n 测量平差两大任务： 1、削弱误差的影响，消除由于误差引起的观测值之间的矛盾 ，计算观测值最佳估值； 2、对观测值成果质量进行评估。 即测量平差两大任务：求待定量的最佳估值和精度评定。 上一节内容回顾： 观测误差及产生的原因 观测

8、条件 误差的分类及处理的措施 1.2 偶然误差的统计特性 v 几个概念： 真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大 小的数值，这一数值就称为该观测值真值，用 表示。 真误差：真值与观测值之差（偶然误差），即： 真误差（）= 真值（ ） - 观测值（ ） p测量平差研究对象是偶然误差,为此,有必要对偶然误差的 性质作进一步的分析研究。 真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如： 1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。 当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真值， 即： 真误差（）= 数学

9、期望（ ） - 观测值（ ） 残差（改正数）： 改正数（V）= 平差值（ ） - 观测值（ ） n大量实践证明：大量偶然误差的分布呈现出一 定的统计规律。 在相同观测条件下，独立观测了358个三角形的全部内角，三角 形内角和的真误差i由下式计算： i= 1800 -（i +i+ i） 其结果按误差区间0.2秒间隔、数值大小及符号进行排列（见表） 。 据此，分析三角形内角和的误差i的 规律。 1.2.1 三角形闭合差的例子 W W W W W W W W W W W W W W 先按大小排列； 再以0.2秒区间分区，统计各区间个数； 计算该区间概率，并列表。 表1-2-1偶然误差分布表 误差区间

10、 0.000.20 0.200.40 0.400.60 0.600.80 0.801.00 1.001.20 1.201.40 1.401.60 1.60以上 为负值 个数 频率 45 0.126 40 0.112 33 0.092 23 0.064 17 0.047 13 0.036 6 0.017 4 0.011 0 0 181 0.505 为正值 个数 频率 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0 177 0.495 误差绝对值 个数 频率 91 0.254 81 0.226 66

11、 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.072 11 0.031 6 0.017 0 0 358 1.000 p从表中看出： 绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； 绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。 p大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显 示出上述同样的统计规律。 误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来表 达。 v一定的观测条件对应着一种确定的误差分布。 当误差个数无限增大时，将误差区间缩小，直方图则变成 一条光滑的曲线： n该图同样可以说明观测误差特性，称为“误差分布曲线”。 v可见： 当不同时，

12、曲线位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。 根据高斯推证，多数情况下偶然误差是服从均值为零的正态分布的随 机变量，则其分布密度函数为： 服从正态分布的误差也称高斯误差，不同观测条件，对应着不同误差 分布 1.2.2 偶然误差的统计特性 p用概率的术语概括偶然误差的特性如下： 1、一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降 性）； 3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4、偶然误差的数学期望为零（抵偿性）： n以上分析可知： 1）观测误差呈现偶然性； 2）偶然误差具有统计规律；（均值为零的正态 随机变量） n测量平差任务之

13、一：评定测量成果精度。 1.3 衡量精度的指标 1.3.1 观测条件与观测精度 1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界条件的综合。 一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布； p可见： 分布曲线陡峭的说明误差分布密集，或者离散度小，观测精度高些，也就是 观测条件好；另一条说明误差分布较为离散或者说它的离散度大，也即观测条 件差。 2、观测精度： 是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与 其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。 密 集 离 散 数学期望：反映随机变量集中位置的数字特征； 方差：反映随机变量偏离集中位置的离散程度； 1、方差 由数理统计学可知，随机变

14、量X的方差定义为： 观测值L和观测误差均为随机变量，因此其方差为 u当观测值只含偶然误差时，任一观测值的方差与观测误差的方 差是相同的。 1.3.2 衡量精度的指标 p可见： 中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度 的大小； 中误差越小，说明绝对值较小的误差越多！ 由数学期望定义，方差（或标准差）又可表示为： 和 实际工作中，由于观测个数有限的，故可求得方差或标准 差的估值： 2、平均误差 定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的 数学期望，称为平均误差，并以表示，即 平均误差和中误差的理论关系式 n可见，不同大小的平均误差，对应着不同的中误差，也就对 应着不同的误

15、差分布。即说明也可应用平均误差作为衡量精度 的指标。 3、或然误差 定义：观测误差落入正、负或然误差之间的概率恰好等于1/2 ，即 误差的概率分布曲线： 3、或然误差 或然误差与中误差的关系： 实际或然误差得到方法： 1）将相同条件下得到一组误差，排列，取中间或中间两个的 平均数； 2）先求中误差，然后用上述公式求得。 例1：设有一列等精度观测真误差，按绝对值递增顺序排列与 下表。试计算其中误差、平均误差以及或然误差。 序号 123456789 真误差 （秒） -0.1 +0.4+1.2 +1.2+1.8+1.9+2.6-4.7-5.1 序号 101112131415161718 真误差 （秒） +5.6-7.2+8.9 +9.6-9.7+9.8+9.9-10.0-10.3 解： p不难看出： 因此，我国和世界各国通常都是采用中误差作为精度指标。 中误差、平均误差以及或然误差都可以作为衡量精度的指标； 但当n不大时，中误差