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1、第十一章 曲线积分与曲面积分 11-1 对弧长的曲线积分,定义：设 L 为 面内的一条光滑曲 线弧，函数 上有界，在 上 任意插入一点列 把 L 分成 n 个小段，设第 个小段的长度 为 为第 个小段上任意 取定的一点，,作乘积 并作和 如果当各小弧段的长度的最 大值 时，这和的极限总存在，则称 此极限为函数 在曲线弧上 L 上 对弧长的曲线积分或第一类曲线积分， 其中 叫做被积函数，L 叫做 积分弧段。,例1计算 ，其中L为圆 周 ，直线 及 轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。,例2计算 ，其中 为 折线 ，这里 依次为点,例计算 ， 其中L为曲线 。,例4计算 ， 其中L为折线 所围成
2、的区域的整个边界,例5计算半径为R，中心角为 的圆弧 L 对于它的对称轴的 转动惯量（设线密度 ）。,11-2 对坐标的曲线积分,定义：设 L 为 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 上有界，在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 把 L 分成 n 个有向小弧线段,设 为 上任意取定点，如果当各小弧段 长度的最大值 时， 的极限总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的 曲线积分，记作 ，类似 地，如果 总存在，则 称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 的曲线积分，,记作 其中 叫做被积函数， L 叫做积分弧段。 以上两个积分也称为第二类曲线积分。,(一)定
3、理：设 在有向曲 线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程 为 ，当参数 单调地由 变到 时，点 从 L 的起点 A 沿L运动到终点 B，,在以 为端点的闭区间上 具有一阶连续导数且 则曲线积分 存在， 且,例1计算 ，其中 L 为抛 物线 上从点 到点 的一段弧。,例2计算 ，其中L为 （1）半径为 ，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。 （2）从点 沿 轴到点 的直线段。,例3计算 ，其中 L为 （1）抛物线 上从 的一段弧。 （2）抛物线 上从 的一段弧。 （3）有向折线 ,这里O,A,B依次是 点（0，0），（1，0），（1，1）.,例4计算 其中 为椭圆 若从 轴正向看去， 的方
4、向 是顺时针的。,例5设一个质点在 处受到 力F的作用，F的大小与M到原点O 的距离成正比，F的方向恒指向原 点，此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到 点 ，求力F所做的功W。,例6将对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L 为沿抛物线 从点 到点 。,11-3 格林公式及其应用,例1求椭圆 所围成图形的面积。,例2设 L 是任意一条分段光滑 的闭曲线，证明：,例3计算 ， 其中D是 为顶点三角形闭区域。,例4计算 ，其中 L 为一条无重点分段光滑且不经过原 点的连续闭曲线，L 的方向为逆时 针方向。,例5计算 其中 L 是曲线 及 所围成的区域的边 界，按逆时针方向。,例6计算 ，
5、其中L是以 为顶点的三角形正向边界曲线。,例7计算 ，其 中 L 为 （1）圆周 的正向。 （2）正方形边界 的正向。,例8计算 其中L为曲线 按 增大的方向。,定理2 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏 导数，则曲线积分 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲 线积分为零）的充分必要条件是 在G内恒成立。,例9计算曲线积分 其中L是以点 为中心，R为半径的圆周 取逆时针方向。,定理3 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏 导数，则 在G内为某一函数 的全微分的 充分必要条件是 在G内恒成立。,推论 设区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏 导数，则曲
6、线积分 在G内与路径无关的充分必要条件是： 在G 内存在函数 ， 使,例10验证 在右半平 面 内是某个函数的全微 分，并求出一个这样的函数。,例11验证：在整个 面 内， 是某个函 数的全微分，并求出一个这样的 函数。,例12验证：在整个 面内， 是某个函数的全微分，并求出一 个这样的函数。,例13求解方程,11-4 对面积的曲面积分,定义 设曲面 是光滑的，函数 在 上有界，把 任 意分成 小块 （ 同时也代 表第 小块曲面的面积），设 是 上任意取定的一点，作乘积,并作和 ，如果当各小块 曲面的直径的最大值 时，这和 的极限总存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面 积分或第一类曲
7、面积分，记作 即 其中 叫做被积函数， 叫 做积分曲面。,例1计算曲面积分 ，其中 是球面 被平 面 截出的顶部。,例2计算曲面积分 其中 是介于 之间的圆柱面 。,例3计算 ，其中 是 由平面 及 所围成的四面体的 整个边界曲面。,例4计算 ， 其中 是圆锥面 被柱面 所截的部 分。,例5设 为椭球面 的上半部分,点 （ 为 在点P处的切平面） 为点 到平面的距离， 求,11-5 对坐标的曲面积分,定义 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界，把 任意分 成 块小曲面 （ 同时又表示第 块 小曲面的面积）， 在 面上的投影 为 上任意取定的一 点，如果当个小块曲面的直径的最大值 时，,总存在
8、，则称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积 分，记作 即 其中 叫做被积函数， 叫 做积分曲面。,类似地可以定义函数 在 有向曲面 上对坐标 的曲面积 分 及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面 积分 分别为,以上三个曲面积分也称为第二类曲面 积分。,例1计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的 外侧，,例2计算曲面积分 其中 是球面 外 侧在 的部分。,例3计算 ，其 中 为锥面 及平面 所围成的空间区域 的整个边界曲面的外侧。,例4计算曲面积分 其中 是旋转抛物面 介于平面 之间的部分 的下侧。,例5计算 其中 是平面 在第一卦限部分的上侧。,11-6 高斯公式 通量与散度,一、高
9、斯公式 （一）定理1 设空间闭区域 是由分 布光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上 具有一阶连续偏导数，则有,这里 的整个边界曲面的外侧， 处的 法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯 公式。,例1利用高斯公式计算曲面积分 其中 为柱面 及平面 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧。,例2利用高斯公式计算曲面积分 其中 为锥面 介于平面 之间的部分的下侧， 在点 处 的法向量的方向余弦。,例3计算曲面积分 其中 为上半球面 的上侧。,例4设函数 在闭区 域 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明： 其中 是闭区域 的整个边界曲面 为函 数 沿 的外法线方向的方向导 数，符号 称为拉普拉斯算 子，这个公
10、式叫做格林第一公式。,二、通量与散度 （一）通量定义 设某向量场由 给出，其中 具有一阶连续偏导 数， 是场内的一片有向曲面， 处的单位法向量，则,叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧 的通量（或流量）,例5求向量场 穿过 曲面 流向上侧的通量，其中 为柱面 ，被平 面 截下的有限部分。,11-7 斯托克斯公式 环流量与旋度,一、斯托克斯公式 （一）定理：设 为分段光滑的空间 有向闭曲线， 是以 为边界的分片 光滑的有向曲面， 的正向与 的 侧符合右手规则，函数 在曲面 （连同边 界 ）上具有一阶连续偏导数，则有,上面公式叫做斯托克斯公式。,例1利用斯托克斯公式计算曲线积分 其中 为平面 被三
11、个坐标面所截成 的三角形的整个边界，它的正向与这个 三角形上侧的法向量之间符合右手规则。,例2利用斯托克斯公式计算曲线积分 其中 是用平面 截立方 体 的表面所得的截痕，若从 轴的正 向看去取逆时针方向。,二、环流量与旋度 （一）环流量 设有向量场 其中函数 均连续， 的定 义域内的一条分段光滑的有向闭曲线, 处的单位切向量，,则积分 称为向量场 A 沿有向闭曲线 的环流 量，其中 是有向 曲线 处的切向量的方向 余弦。,例3求向量场 沿闭曲线 的环流量，其中 为 锥面 和平面 的 交线，从 轴正向看 为逆时针 方向。,例4计算曲面积分 其中 是锥面 在 面上方的部分，单位法向量 指向锥外。,例5设函数 （1）求梯度 。 （2）求向量场 的散度 （3）计算向量场
