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1、1,第九章 曲线积分与曲面积分,概念的引入,第一类曲面积分的定义,第一类曲面积分的计算法,小结 思考题 作业,第四节 第一类曲面积分,2,实例,解,第一步:,将分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:,第二步:,求和取极限,则,取,光滑的,它的面密度为连续函数,求它的质量.,一、概念的引入,3,1. 定义,函数 f(x, y, z)在上,任意取定的点,并作和,如果当各小块曲面的直径,这和式的极限存在,则,的最大值,二、第一类曲面积分的定义,第i 小块曲面的面积),作乘积,设曲面是光滑的,同时也表示,有界.,把 任意分成n小块,4,或,记为,即,如曲面是,曲面面积元素,被积函数,则积
2、分号写成,积分曲面,称,极限为数量值函数,对面积的曲面积分，,第一类曲面积分,闭曲面,也称为,5,2. 存在条件,在光滑曲面上,今后,假定,曲面积分存在.,第一类,连续,3. 第一类曲面积分的性质,6,设分片光滑的,x的奇函数,x的偶函数,其中,则,曲面关于yOz面对称,7,4. 第一类曲面积分的几何意义,空间曲面的面积:,5.第一类曲面积分的物理意义,面密度为连续函数,的质量M为:,其重心坐标为:,8,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,化为二重积分计算.,(1),三、第一类曲面积分的计算法,9,利用上述公式计算第一类曲面积分的步骤：,1. 求出曲面,2. 将被积函数,3. 将面积微元dS
3、换为,10,则,则,(2),(3),11,给出，,此时曲面的面积微元为,于是，,12,例,解,投影域:,所截得的部分.,故,二重积分的对称性,13,解,依对称性知,例,抛物面,有,?,被积函数,为第一卦限部分曲面.,14,15,例,所围成的空间立体的表面.,16,解,投影域,例,所围成的空间立体的表面.,对称性,17,(左右两片投影相同),将投影域选在,分成左、右两片,对称性,18,计算,其中为球面,之位于平面,练习,因曲面,于是,x3是x的奇函数，,x2y是y的奇函数.,关于yOz面及xOz面对称;,解,曲面的方程,在xOy面上的投影域,19,20,第一类曲面积分的计算,第一类曲面积分的概念,四、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为二重积分计算;,曲面方程三种形式的计算公式,21,思考题,定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可统一表示为,是非题,是,22,作 业,习题9-4 (146页),2. 3.,
