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1、第二章 圆锥曲线与方程本章检测（时间120分钟,满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.以=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析：双曲线=1的焦点坐标为（0，4），顶点坐标为（0，2），所求椭圆的顶点坐标为（0，4），焦点坐标为（0，2）.在椭圆中，a=4,c=2.b2=4.椭圆的方程为=1.答案：D2.(ab0)的渐近线()A.重合B.不重合，但关于x轴对称C.不重合，但关于y轴对称D.不重合，但关于直线y=x对称解析：双曲线=1的渐近线方程为y=x，双曲线=1的渐近线方程为y=x.y=x与y=x关于直线y=x对称，y
2、=-x与y=-x关于直线y=x对称.因此，选项D正确.答案：D3.(2005全国高考，文5)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3C.4D.5解析：由x2=4y知其准线方程为y=-1，据抛物线定义，点A与焦点的距离等于A与准线的距离，显然A的纵坐标为4.其距离为5.答案：D4.已知定点A、B，且AB=4，动点P满足PA-PB=3，则PA的最小值是()A.B.C.D.5解析：由题作出示意图.分析得出P在P点处PA最小.AO=2,OP=.PAmin=2+=.答案：C5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+
3、x2=4,那么AB等于()A.10B.8C.6D.4解析：AB=x1+x2+=x1+x2+p=4+2=6.答案：C6.设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=90，则F1PF2的面积是()A.1B.C.2D.解析：由得PF1PF2=2.F1PF2的面积为PF1PF2=1.答案：A7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-2)解析：直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，
4、定点为抛物线的焦点（2，0）.答案：B8.(2006安徽高考，5)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4解析：椭圆=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4,故选D.答案：D9.过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且AB=BC，则双曲线M的离心率是()A.B.C.D.解析：据题意如图设lAB:y=x+1,lOC:y=bx,lOB:y=-bx,由得C点纵坐标是,B点纵坐标是.AB=BC,b=3,e=答案：A10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分
5、，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60 cm,灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()A.y2=xB.y2=xC.x2=-yD.x2=-y解析：如果设抛物线的方程为y2=2px(p0)，则抛物线过点（40，30），302=2p40,2p=,所以所求抛物线方程应为y2=x.所给选项中没有y2=x，但方程x2=-y中的“2p”值为45 2，所以C选项符合题意.答案：C11.已知两点M(-2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足+=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解：依题意可知P（x,y）,则+=0+(4,0)
6、(x-2,y)=0+4(x-2)=0化简整理得,y2=-8x.答案：B12.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是()A.B.C.D.3解：设（x0,y0）为抛物线y=-x2上任意一点，y0=-x,d=dmm=答案：A二、填空题(本小题共4小题，每小题4分，共16分)13.双曲线的渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为_.解析：双曲线的渐近线方程为y=x,答案：14.抛物线y=x2的焦点坐标是_.解析：y=x2=4y,p=2，其焦点为（0，1）.答案：（0，1）15.点P(6，1)平分双曲线x2-4y2=1的一条弦，则这条弦所在直线方程是_.解析：设弦的两端点分别为A（
7、x1,y1）、B(x2,y2)，则x21-4y21=1,x22-4y22=1.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.AB的中点为P（6，1），x1+x2=12,y1+y2=2.直线AB的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案：3x-2y-16=016.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率en=()n(nN)，且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为_.解析：因故所有椭圆的长轴之和为答案：2三、解答题(本大题共6小题，满分74分)17.(12分)已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OAOB.证法一：
8、将y=x-2代入y2=2x中，得(x-2)2=2x,化简得x2-6x+4=0,x=3.x=3+时，y=1+5,x=3-时，y=1-.kOAkOB=-1.OAOB.证法二：同证法一得方程x2-6x+4=0.x1+x2=6,x1x2=4.y1y2=(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-4.kOAkOB=-1.OAOB.18.(12分)A、B为椭圆x2+y2=a2(a0)上的两点，F2为右焦点，若AF2+BF2=a,且AB的中点P的横坐标为，求该椭圆的方程.解析：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得AF2=ed1=d1,BF2=
9、d2,d=又2d=d1+d2,a-3=2d,a=|AF2|+|BF2|=(d1+d2),d1+d2=2a,a-3=2a,a=6,该椭圆的方程为x2+y2=36.19.(12分)已知双曲线x2-=1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦.(1)解：设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k(x-1),代入双曲线方程并整理得（2-k2）x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=-.由已知=1,=2,解得k=1.又k=1时，=(2
10、k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=160,从而直线AB的方程为x-y+1=0.(2)证明：设过Q（1，1）点的直线方程为y-1=k(x-1),代入双曲线方程并整理，得（2-k2）x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.由题知=2,解得k=2.而当k=2时，=-2k(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-80，y0,得x=4,y=1,点B的坐标为（4，1）.（2）由得（-1）x2+6x-10=0.设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则x1+x2=8,得a=2,此时，0,a=2.21.(12分)(2006上海高考，20)过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直
11、线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？解：抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）.设直线MN的方程为y=k(x+1).由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.直线与抛物线交于M、N两点，=4(k2-2)2-4k40,即k2|k2-2|,k21,-1k1.设M(x1,y1),N(x2,y2)，抛物线焦点为F（1，0）.以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，MFNF.,即y1y2+x1x2-(x1+x2)+1=0.k=,即直线的倾斜角为arctan或-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.22.(14分)已知两定点F1(-
12、，0)、F2(，0)，满足条件-=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.(1)求k的取值范围；(2)如果AB=6，且曲线E上存在点C，使+=m,求m的值和ABC的面积S.解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（-，0）、F2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=2,a=1,易知b=1.故曲线E的方程为x2-y2=1(x0).设A(x1,y1)，B(x2,y2),由题意建立方程组消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有解得-k-1.(2) 因为|AB|=|x1-x2|2依题意得=63.整理后得28k4-55k2+25=0.
13、k2=或k2=.但-k-1,k=-.故直线AB的方程为x+y+1=0.设C（xc,yc），由已知+=m,得（x1,y1）+(x2,y2)=(mxC,myC),(xC,yC)=(m0).又x1+x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)-2=-2=8,点C().将点C的坐标代入曲线E的方程，得=1.得m=4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.m=4,C点坐标为（-，2）.C到AB的距离为ABC的面积S=导学乐园曲突徒薪有位客人到某人家里做客，看见主人家的灶上烟囱是直的，旁边又有很多木材。客人告诉主人说，烟囱要改曲，木材须移去，否则将来可能会有火灾，主人听了没有作任何表示。不久主人家里果然失火，四周的邻居赶紧跑来救火，最后火被扑灭了，于是主人烹羊宰牛，宴请四邻，以酬谢他们救火的功劳，但并没有请当初建议他将木材移走，烟囱改曲的人。有人对主人说：“如果当初听了那位先生的话，今天也不用准备筵席，而且没有火灾的损失，现在论功行赏，原先给你建议的人没有被感恩，而救火的人却是座上客，真是很奇怪的事呢！”主人顿时省悟，赶紧去邀
