《高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式知识巧解学案 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式知识巧解学案 新人教A版必修4（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3 三角函数的诱导公式疱工巧解牛知识巧学一、公式二(+与的三角函数关系)1.公式sin(+)=-sincos(+)=-costan(+)=tan2.公式二的推导 设0,2),0,，则以下四种情形中有且仅有一种成立.=,0,)或=-,)或=+,)或=2-,2). 在以上四种情形中，+的终边可由角的终边按逆时针方向旋转 rad而得到，即角+终边上的点关于原点的对称点一定在角的终边上. 如图1-3-2，不妨设为任意角，若角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则其反向延长线(即+角的终边)与单位圆交于点P(-x，-y).图1-3-2 由于单位圆的半径是1，即r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，
2、可得sin=y，cos=x，tan=;sin(+)=-y，cos(+)=-x,tan(+)=.于是，我们得到公式二.特别地，由于角+与角的终边关于原点对称，故有公式成立.二、公式三(-与的三角函数关系)1.公式sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tan2.公式三的推导 由于360-角是与-角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而与-是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然，角与-角的终边关于x轴对称. 设角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点为P(x，-y)，如图1-3-3.图1-3-3 由于单位圆的半径r=1，根据任意角的正弦、
3、余弦函数的定义，可得sin=y，cos=x，tan=，sin(-)=-y，cos(-)=x，tan(-)=. 于是，我们得到公式三.特别地,角-与角的终边关于x轴对称,故有公式成立.学法一得 因为正、余弦函数的定义域是xR，正切函数的定义域是x+k,kZ，它们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数.三、公式四(-与的三角函数关系)1.公式sin(-)=sincos(-)=-costan(-)=-tan2.公式四的推导由于sin(+)=-sin，cos(+)=-cos，tan(+)=tan，sin(-)=-sin，cos(-)=cos，tan(-)=-tan，所以
4、sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=sin，cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-cos，tan(-)=tan+(-)=tan(-)=-tan.于是，我们得到公式四.特别地，角-与角的终边关于y轴对称，故有公式成立.学法一得 两个互为补角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数.例如,.四、诱导公式1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式，抛去各自的特点，可把它们概括如下： 对于+k2(kZ)，-，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，由于把角视为锐角，所以+2k(kZ)，-,+,-的函数值应分别按与一、二、三、四象限相对应的符号进行标注.以
5、上四组诱导公式是用弧度制表示的，若采用角度制，写成+k360(kZ)，-，180的形式，其规律是一样的.2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤:3.诱导公式的作用：利用上述诱导公式，可对任意角的三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.记忆要诀 根据公式，可将四组诱导公式编成口诀“函数名不变，符号看象限”记忆.五、公式五与公式六1.公式sin(-)=coscos(-)=sinsin(+)=coscos(+)=-sin2.公式五和公式六可以概括为，的三角函数值，等于的余名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.诱导公式五、六的出现，进一步丰富了三角函数的化简过程，拓
6、宽了三角函数式的化简渠道.对同一三角函数式，使用不同的诱导公式，可以获得不同的解题途径.记忆要诀 两套诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值，当k为奇数时，得的余名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，还可编成口诀“奇变偶不变，符号看象限”或“奇余偶同，象限定号”去记忆.典题热题知识点一 公式二的应用例1 求下列各式的三角函数值：(1)cos；(2)cos1 290；(3)sin(-480).思路分析：先用公式一能把任意角的三角函数值转化成0到360角的三角函数值，再借助公式二把180到270角的三角函数值转化为求锐角的函数值.解：(1)cos=cos
7、(+)=-cos=.(2)cos1 290=cos(210+3360)=cos210=cos(180+30)=-cos30=.(3)sin(-480)=sin(240-2360)=sin240=sin(180+60)=-sin60=.方法归纳 化简终边落在第三象限的角的三角函数值的步骤：(1)先把转化成=+2k,kZ,其中(,)的形式，根据公式一，把求的三角函数值就转化成了求的三角函数值；(2)再把写成=+,(0,)的形式，根据公式二，把求的三角函数值转化成了求锐角的三角函数值.特别地，若(,)，可直接按第(2)步进行化简.知识点二 公式三的应用例2 求下列各式的值.(1)sin()；(2)c
8、os(-60)；(3)tan(-750).思路分析：可先利用公式三，把负角的三角函数转化成正角的三角函数，再利于诱导公式，把正角的三角函数转化成锐角的三角函数进行求值.解：(1)sin()=-sin=;(2)cos(-60)=cos60=;(3)tan(-750)=-tan750=-tan(2360+30)=-tan30=.例3已知tan=3,求的值.思路分析：先由诱导公式二、三进行化简，再把齐次弦函数式转化成切函数的形式求解，或直接利于同角的三角函数的基本关系式进行求解.解：原式=.tan=3，是第一、三象限的角.当是第一象限角时，cos=，sin=costan=.原式=.当是第三象限角时，
9、同理,可得原式=.综上可知，所求代数式的值为.巧解提示：tan=3,cos0.原式=.方法归纳 已知的切函数值，求与有关的弦函数式的值可考虑用同角的三角函数的基本关系式进行求值，但要注意角所在的象限；若弦函数式是一齐次式，可将齐次式的分子、分母同除以一个齐次项进行化简，但要保证所除因式不为零.例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=1-cosx;(2)g(x)=x-sinx;(3)h(x)=x2-tanx.思路分析：要判断函数的奇偶性，一看函数的定义域是否关于原点对称，二看f(-x)与f(x)的关系.解：(1)函数的定义域为R，因为f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x)，所
10、以f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为R,因为g(-x)=(-x)-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R且x+k,kZ,因为h(-x)=(-x)2-tan(-x)=x2+tanx，显然h(-x)h(x)并且h(-x)-h(x)，所以h(x)是非奇非偶函数.方法归纳 诱导公式三是化负角为正角的依据；诱导公式三是判断函数奇偶性的依据.知识点三 公式四的应用例5 已知cos(-)=，求cos(+)-sin2(-)的值.思路分析：由于三角函数的自变量是角，所以对三角函数的分析应从角入手，合理进行角的变换，使所求角的三角函数
11、能用已知角的三角函数表示出来.因为(-)+(+)=，所以+可化成-(-).又因为-=-(-)，所以可用诱导公式进行求解.解：cos(-)=，原式=cos-(-)-1-cos2(-)=-cos(-)-1+cos2(-)=.例6 已知sin(-x)=，且0x，求cos(+x)的值.思路分析：注意到(-x)+(+x)=，因此，可将问题转化成求cos(-x)的值.解：0x,-x0.-x.又sin(-x)=,.cos(+x)=-cos(-x)=.方法归纳 化简条件代数式的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都
12、比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止.无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，据果变形.知识点四 诱导公式的应用例7 先把下列各任意角的三角函数转化成锐角的三角函数，再求值.(1)cos；(2)；(3)cos()；(4)cos(-1 650)；(5)cos(-15015).解：(1)cos=cos(2-)=cos=.(2).(3)cos()=cos=cos()=-cos=.(4)cos(-1 650)=cos1 650=cos(4360+210)=cos210=cos(180+30)=-cos30=.(5)cos(-15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2
13、945.例8 求sin120+cos750+sin(-690)cos(-660)+tan(-675)+tan765-tan1 020+tan(-1 230)的值.思路分析：对于形如sin(-690)的化简可先写成sin(-690)=-sin690=-sin(330+360)=-sin330=-sin(360-30)=sin30=，解：原式=sin(180-60)+cos(30+2360)+sin(30-2360)cos(60-2360)-tan(2360-45) +tan(2360+45)-tan(3360-60)-tan(3360+150)=sin60+cos30+sin30cos60+ta
14、n45+tan45+tan60-tan(180-30).例9 化简下列各式：(1);(2)(nZ).思路分析：先合理进行角的变换，把角转化成能使用诱导公式的形式，用诱导公式将分子、分母化简，再约分求值.证明：(1)原式=.(2)原式=.例10 求证：(1)sin(n+)=(-1)nsin(nZ)；(2)cos(n+)=(-1)ncos(nZ).思路分析：因为nZ，所以应把n分成奇数、偶数两种情况，结合诱导公式求解.证明：(1)当n为奇数时，设n=2k-1(kZ)，则sin(n+)=sin(2k-1)+=sin(-+)=-sin(-)=-sin=(-1)nsin；当n为偶数时，设n=2k(kZ)，则sin(n+)=sin(2k+)=sin=(-1)nsin，si
