《高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数教案 苏教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数教案 苏教版必修4（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.1任意角的三角函数教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发三
2、角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境三维目标1通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号2正确利用与单位圆有关的有向线段，将
3、任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来3能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示课时安排2课时第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180，那么sin200的值还是三角形中200的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联
4、系锐角三角函数，这也是一种不错的选择推进新课任意角的三角函数1任意角的三角函数的定义角的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，则角的三角函数定义为：三角函数定义定义域sinRcosRtan|k，kZ2各象限角的三角函数值的符号如下图所示图1三角函数正值口诀：全正，正弦，两切，余弦教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数如图2.设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴
5、重合，那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin，cos，tan.怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变也就是说，对于确定的角，比值和都惟一确定，故正弦
6、、余弦都是角的函数当k(kZ)时，角的终边在y轴上，故有x0，这时tan无意义除此之外，对于确定的角(k，kZ)，比值也是惟一确定的，故正切也是角的函数sin、cos、tan分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么特别注意既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系从而可以把三角函数看成
7、是自变量为实数的函数值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数(2)sin不是sin与的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域对于正弦函数sin，因为y恒有意义，即取任意实数，y恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有
8、意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k(kZ)(由学生填写下表)三角函数定义域sinRcosRtan|k，kZ三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y0，点P在第三、四象限时，纵坐标y0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的从而完成上面结论的探究思路1例1已知角的终边经过点P(2，3)，求的正弦、余弦和正切值图4解：因为x2，y3，所以r.所以sin，cos，
9、tan.点评：本例是已知角终边上一点的坐标，求角的三角函数值问题可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.变式训练求的正弦、余弦和正切值解：在平面直角坐标系中，作AOB，如图5.图5易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，)所以sin，cos，tan.例2见课本本节例2.变式训练1求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角证明：我们证明如果式都成立，那么为第三象限角因为sin0成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限于是角为第三象限角反过来请同学们自己证明点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等
10、式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知costan0时，rk，是第四象限角，sin，sec，10sin3sec10()3330.(2)当k0时，P(k，3k)是第四象限内的点，角的终边在第四象限；当k0时，P(k，3k)是第二象限内的点，角的终边在第二象限内，这与角的终边在y3x上是一致的例2求函数ytan的定义域活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行求含正切
11、函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示解：要使函数ytan有意义，则sin0且k(kZ)由正弦函数的定义知道，sin0就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标非负角的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2k2k(kZ)函数的定义域是|2k2k，或2k(2k1)，kZ点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin0，且tan有意义，由此推导出的取值范围就是函数的定义域.变式训练求下列函数的定义域：(1)ysinxcosx；(2)ysinxtanx；(3)y.解：(1)使sinx
12、、cosx有意义的xR，ysinxcosx的定义域为R.(2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义有函数ysinxtanx的定义域为x|xk，kZ(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx0.有(kZ)函数y的定义域为x|x，kZ.课本本节练习16.本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到课本习题1.21,5,6.关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”这两种方法本质上是一致的正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解一、关于余切、正割、余割函数设是一个任意大小的角，角的终边与单位圆
