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1、3.4互斥事件 1整体设计教材分析本节的内容主要是互斥事件及其概率，为了能简洁地叙述相关内容，可以通过实例来叙述，如在粉笔盒里装有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件.互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生.对立事件的定义中的两个事件必有一个发生，它的前提条件是这两个事件为互斥事件.因此，对立事件可以理解为：事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”即指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生.如，
2、投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生.事件A的对立事件通常记作A.如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到.一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，那么事件A1+A2+An发生(即A1，A2，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是
3、两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即AB=，且AB=I.图1图2公式P(A+)
4、=P(A)+P()=1的常用变形公式为P(A)=1-P()或P()=1-P(A)，在解题中会经常用到.本节基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算.解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足.三维目标1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算.2.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，进一步理解随机事件概率的意义，从而掌握互斥事件、对立事件与古典概型
5、、几何概型的区别与联系.3.通过对互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力.4.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想.5.结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法.重点难点教学重点：1.理解互斥事件的概率加法公式.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.教学难点：1.用定义判断较复杂的事件是否互斥.2.会运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（实例导入）在1个盒内放
6、有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.请同学们思考下列事件的概率：事件A：得到红球；事件B：得到绿球；事件C：得到红球或者绿球.设计思路二：（情境导入）体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：优85分及以上9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A，B，C，D.问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率分别是多少？问题3：如果将“体育成绩及格”记
7、为事件E，那么E与D能否同时发生？它们之间有什么关系？推进新课新知探究对于导入思路一：1.互斥事件的有关概念在1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球.则事件A“得到红球”的概率为；事件B“得到绿球”的概率为；事件C“得到红球或者绿球”的概率为.下面来研究以下问题：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？如果从盒中摸出1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生.
8、就是说，事件A与B不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(exclusive events).一般地，如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2，An彼此互斥.从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一个发生的概率设A、B是两个互斥事件，那么AB表示这样一个事件：在同一试验中，A与B中有一个发生就表示它发生.那么事件AB的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件AB.由于从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有72种，所以得到红球或绿球的概率 P（
9、AB），另一方面P（A），P（B），由，我们看到P（AB）P（A）P（B）.这就是说，如果事件A，B互斥，那么事件AB发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和.一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1A2An发生（即A1，A2，An中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An）.3.对立事件如果事件A与事件B是互斥事件，并且事件A与事件B中必有一个事件发生，则称事件A与事件B为对立事件（complementary events）.事件A的对立事件记为A.对立事件与互斥事件的关系对立事件必定是互斥
10、事件，两个互斥事件或对立事件不能同时发生.对立事件有且只有一个发生，而互斥事件可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生.从集合的角度来看，表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集.如图所示：注：椭圆表示全集左图是集合表示的互斥事件之间的关系，右图是集合表示的对立事件之间的关系.由于对立事件A与必定有一个发生，因此A+是必然事件，所以P(A)+P()=P(A+)=1，由此，可以有如下的重要公式P()=1P(A).对于导入思路二：对于问题1，在同一次体育考试中，同一人不可能既得优又得良，即事件A和B是不可能同时发生的.不能同时发生的两个
11、事件称为互斥事件（exclusive events）.对于本例中的事件，其中任意两个都是互斥的.一般地，如果事件A1，A2，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，An彼此互斥.设A，B为互斥事件，当事件A，B有一个发生，我们把这个事件记作A+B.在上述关于体育考试成绩的问题2中，事件A+B就表示事件“优”或“良”，那么，事件A+B发生的概率是多少呢？用古典概型的求概率公式，可以得到事件A发生的概率P(A)=，事件B发生的概率P(B)= .因此有P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B为互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)
12、+P(B).一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，那么事件A1+A2+An发生(即A1，A2，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).在上述关于体育考试成绩的问题3中，事件E与D不可能同时发生，但是必然有一个发生.由分析可知，事件E与D是互斥事件，但是比互斥事件的条件要强.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events）.事件A的对立事件记为A.对立事件与互斥事件有何异同？互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事
13、件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.对立事件是一种特殊的互斥事件.特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生).若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1.从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)/card(
14、I)=（card(A)+card(B)）/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即AB=，且AB=I.图1图2公式P(A+)=P(A)+P()=1的常用变形公式为P(A)=1-P()或P()=1-P(A)，在解题中会经常用到.应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A，“命中的环数大于5”为事件B ,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D.那么A、B、C、D 中有多少对互斥事件？分析：判断两
15、个事件是否是互斥事件，主要依据是互斥事件的概念即两个事件不能同时发生.解：由于一个射手进行一次射击，“命中的环数大于8”与“命中的环数小于4”不能同时发生，也就是事件A与事件C不能同时发生，所以，事件A与事件C是互斥事件.同样道理，事件A与事件D，事件B与事件C，事件B与事件D也是互斥事件，因此，事件A、B、C、D 中有四对互斥事件，即A与C，A与D，B与C，B与D.点评：在判断两个事件是否是互斥事件时，紧紧抓住关键词“两个事件不能同时发生”，如果满足条件就是互斥事件.对于对立事件则首先是互斥事件，还要满足条件“其中一个不发生，则另一个必定发生”.例2 某人射击1次，命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.120.180.280.32(1)求射击1次，至少命中7环的概率；(2)求射击1次，命中不足7环的概率.分析：若将“射击1次，命中k环”记为事件Ak(kN,且k10)，事件Ak两两不可以同时发生，因此，事件Ak两两互斥，考虑用互斥事件有一个发生的概率的计算方法来计算.解：记事件“射击1次，命中k环”为Ak (kN,且k10),则事件Ak彼此互斥.
