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1、平面向量的坐标运算 及向量共线的坐标表示,海 盐高级中学 高新军,复习引入:,1.平面向量的基本定理是什么?,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.,2.用坐标表示向量的基本原理是什么?,设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若axiyj,则a(x,y).,我们需要研究的问题是: 向量的和、差、数乘、模的运算,如何转化为坐标运算。 共线向量(定理)如何通过坐标来表示。,探究(一):平面向量的坐标运算,思考1:设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ax1iy1j,bx
2、2iy2j,根据向量的线性运算性质,向量ab,ab,a(R)如何分别用基底i、j表示?,ab(x1x2)i(y1y2)j, ab(x1x2)i(y1y2)j, ax1iy1j.,ab(x1x2,y1y2); ab(x1x2,y1y2); a(x1,y1).,说明:向量和(差)的坐标等于这向量相应坐标的和(差); 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,思考2:如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2), 那么向量 的坐标如何?一般地,一个 任意向量的坐标如何计算?,(x2x1,y2y1).,任意一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.,思考4:在上图中,如何确定坐标为(x
3、2x1,y2y1)的点P的位置?,思考5:若向量a=(x,y),则|a|如何计算?若点A(x1,y1),B(x2,y2),则 如何计算?,也叫距离公式,探究(二):平面向量共线的坐标表示,思考1:如果向量a,b共线(其中b0), 那么a,b满足什么关系?,思考2:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a,b共线(其中b0),则这两个向量的坐标应满足什么关系?反之成立吗?,ab.,向量a,b(b0)共线,思考3:已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点,如何用向量方法求点P的坐标?,.三角形中位线定理,思考4:一般地,若点P1(x1,y1)
4、,P2(x2,y2),点P是直线P1P2上一点,且 ,那么点P的坐标有何计算公式?,定比分点坐标,理论迁移,例1 已知a=(2,1), b=(3,4),求 ab,ab,3a4b的坐标.,ab(1,5), ab(5,3), 3a4b(6,19).,D(2,2),例3 已知向量a=(4,2),b=(8,y),且ab,求y的值.,y4,例4 已知点A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点是否共线?,,A、B、C三点共线.,小结作业,1. 向量的坐标运算(加、减、数乘),2.向量AB的坐标如何求?,3.如何用向量的坐标求向量的模?,4.若a/b(b0)它们的坐标满足什么关系式?,5.三角形中位线定理是什么?,课后练习:,A. 6 B. -5 C. 7 D. -8,2. 若A(x, 1),B(1, 3),C(2, 5)三点共线, 则x的值为( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3,B,B,课后练习,A. 1, 2 B. 3, 2 C. 2, 2 D. 2, 4,C,课后练习,5. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐 标为A(5, 7),B(3, x),C(2, 3),D(4, x), 则x= .,