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1、目录1. 引言 2.利用平行四边形性质添加平行线证题3.利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题 4.利用平移、旋转,翻折,几何证明中的三种基本变换证题 5.反证法证题 6.巧用面积法解几何题结论 参考文献 致谢 平面几何证明题的常用技巧 数学计算机科学学院摘 要 灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。【关键词】平面几何 证明题 思路 技巧 The plane geometry proving the commonly use
2、d skill College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: Flexible, properly choose the problem solving method is a good way of solving plane geometry. Any solve a plane geometry proving, one way or the other method, and the choice of which method, it depends on what kind of way we use. This arti
3、cle try to plane geometry proving that is commonly used in several problem-solving ideas and methods are analyzed. Key words：Plane geometry To prove the topic Train of thought skills 1 引言平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思
4、路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。 2利用平行四边形性质添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 2.1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 设P、Q为线
5、段BC上两点,且BPCQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使BAPCAQ时,ABC是什么三角形？试证明你的结论.答： 当点A运动到使BAPCAQ时,ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在DBPAQC中,显然DBPAQC,DPBC.由BPCQ,可知 DBPAQC.有DPAC,BDPQAC.于是,DABP,BAPBDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故ABDP. 所以ABAC. 这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,B
6、AFBCE.求证：EBAADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知PBAECD.有PAED,PBEC. 显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 BCEBPE,APEADE. 由BAFBCE,可知 BAFBPE. 有P、B、A、E四点共圆. 于是,EBAAPE. 所以,EBAADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.APE成为EBA与ADE相等的媒介,证法很巧妙.2.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些
7、线段“送”到恰当位置,以证题.例3 在ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PMPNPQ.证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG. 由BD平行ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQPN. 显然,可知PGEC. 由CE平分BCA,知GP平分FGA.有PKPM.于是, PMPNPKKQPQ. 这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PMPK,就有PMPNPQ.证法非常简捷.2.3 为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段
8、成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4 设M1、M2是ABC的BC边上的点,且BM1CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：.证明：如图4,若PQBC,易证结论成立. 若PQ与PQPMPK,PMPNPQ.M1、M2ABCBCBM1CM2.AB、AC、AM1、AM2P、Q、N1、N2.PQBCPQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E. 由BM1CM2,可知BECEM1EM2E,易知 , ,.则.所以,. 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“
9、通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例5 AD是ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：FDAEDA.证明：如图5,过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M. 显然,.有BDAMDCAN. (1)由, 有AP. (2)由, 有AQ. (3)对比(1)、(2)、(3)有APAQ. 显然AD为PQ的中垂线,故AD平分PDQ.所以,FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.2.4 为了线段相等的传递 当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平
10、行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且MDN90.如果BM2CN2DM2DN2,求证：AD2(AB2AC2).证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME. 由BDDC,可知EDDN.有BEDCND. 于是,BENC. 显然,MD为EN的中垂线.有 EMMN. 由BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2,可知BEM为直角三角形,MBE90.有 ABCACB ABCEBC90. 于是,BAC90. 所以,AD2(AB2AC2). 这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给E
11、N,使解题找到出路.例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EADA,FBDB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF. 证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知 DB2FB2ABHB, AD2AE2AGAB. 二式相减,得 DB2AD2AB(HBAG),或 (DBAD)ABAB(HBAG). 于是,DBADHBAG,或 DBHBADAG. 就是DHGD. 显然,EGCDFH. 故CD平分EF. 这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩. 经过
12、一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有 ,即 或. 此式表明,DMME的充要条件是 BNNC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线BDEF,AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N.由BDEF,可知MNBD.易知 SBEFSDEF. 有SBECSKG *5DFC. 可得MCCN. 所以,EGGF.例9 如图10,O是ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平分BC.证明：如图10,过点K作BC的行平线分别交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、OE、OF. 由ODBC,可知OKPQ. 由OFAB,可知O、K、F、Q四点共圆,有 FOQFKQ. 由OEAC,可知O、K、P、E四点共圆.有EOPEKP. 显然,FKQEKP, 可知 FOQEOP. 由OFOE,可知 RtOFQRtOEP. 则OQOP. 于是,OK为PQ的中垂线,故QKKP. 所以,AK平分BC.
