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1、名师一号 高考总复习 模块新课标 北师大版数学(理)计时双基练三十四数列的综合应用A组基础必做1已知各项均不为0的等差数列an,满足2a3a2a110,数列bn是等比数列,且b7a7,则b6b8()A2 B4C8 D16解析因为数列an为等差数列,所以a3a112a7,所以已知等式可化为4a7a0,解得a74或a70(舍去),又数列bn为等比数列,所以b6b8ba16。答案D2(2015云南省师范大学附属中学高三适应性考试)在各项均为正数的等比数列an中,a2,a3,a1成等差数列,则的值为()A. B.C. D.解析设an的公比为q,因为a2,a3,a1成等差数列,所以a1a22a3a3,即
2、a1a1qa1q2,所以q2q10,解得q或q0(i1,2,),若a1b1,a11b11,则()Aa6b6 Ba6b6Ca6b6 Da6b6解析数列an是等差数列,数列bn是等比数列,a1b1,a11b11,a1a11b1b11,又bi0(i1,2,)2a6b1b1122b6,又q1,且bi0(i1,2,),b1b11,a6b6。答案A5已知数列an满足a1,且对任意的正整数m,n,都有amnaman,若数列an的前n项和为Sn,则Sn等于()A2n1 B2nC2 D2解析令m1,得an1a1an,即a1,可知数列an是首项为a1,公比为q的等比数列,于是Sn22。答案D6(2015河南适应性
3、模拟练习)已知正项等比数列an满足:a9a82a7,若存在两项am,an,使得aman16a,则的最小值为()A. B.C. D不存在解析因为a9a82a7,所以a7q2a7q2a7,解得q2或1(舍去),因为aman16a,所以a2mn216a,mn24,所以(mn)14,当且仅当n2m4时,取等号。所以的最小值为,故选A。答案A7已知数列an的通项公式为an,前n项和为Sn,若对任意的正整数n,不等式S2nSn恒成立,则常数m所能获得的最大整数为_。解析要使S2nSn恒成立,只需(S2nSn)min。(S2(n1)Sn1)(S2nSn)(S2n2S2n)(Sn1Sn)a2n1a2n2an1
4、0,S2nSnS2S1,m0,q0)的两个不同的零点,且a,b,2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于_。解析由题意,得不妨设ab,则2,a,b成等差数列,a,2,b成等比数列,即解得pq9。答案99(2016潍坊模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门通过“可持续指数”来进行积累考核。已知该生产线连续生产n年的产量f(n)吨,每年生产量an的倒数记作该年的“可持续指数”,如果累计“可持续指数”不小于80%,则生产必须停止,则该产品可持续生产_年。解析第一年的产量a12吨,以后第n(n2,3,4,)年的产量anf(n)f(n1)n(n1),所以
5、ann(n1)。由于,于是n年的“可持续指数”之和Sn11。该产品停产即1,解得n4。这说明第4年必须停产,该产品可持续生产3年。答案310(2015温州十校联考)已知二次函数f(x)ax2bx的图像过点(4n,0),且f(0)2n,nN*,数列an满足f,且a14。(1)求数列an的通项公式;(2)记bn,求数列bn的前n项和Tn。解(1)f(x)2axb,由题意知b2n,16n2a4nb0,a,b2n,则f(x)x22nx,xN*,数列an满足f,又f(x)x2n,2n,2n,由叠加法可得2462(n1)n2n,化简可得an(n2),当n1时,a14也符合,an(nN*)。(2)bn2,T
6、nb1b2bn22。11(20152016学年度上学期衡水中学高三年级四调)已知等差数列an的公差为1,前n项和为Sn,且a2a7a126。(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn;(2)将数列an的前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前三项,记数列anbn的前n项和为Tn,若存在mN*,使得对任意nN*,总有SnTm成立,求实数的取值范围。解(1)an为等差数列,且a2a7a126,3a76,即a72,又公差d1,ana7(n7)d2n75n,nN*,Sn,nN*.(2)由(1)知数列an的前4项为4,3,2,1,等比数列bn的前3项为4,2,1,bn4n1,anb
7、n4(5n)n1,Tn44031(6n)n2(5n)n1,Tn44132(6n)n1(5n)n,得Tn442n14(5n)n164(5n)n12(2n6)n1。Tn24(4n12)n1,nN*。TnTn1,T1T2T3T6Tn,nN*时,(Tn)maxT4T5。又Sn,nN*时,(Sn)maxS4S510,存在mN*,使得对任意nN*,总有SnTm成立,(Sn)max(Tm)max,100,且k1。设cnanlg an,若cn中的每一项恒小于它后面的项,则实数k的取值范围为_。解析由题意得logkan2n2,则ank2n2,k2,即数列an是以k4为首项,k2为公比的等比数列,cnanlg an(2n2)k2n2lg k,要使cncn1对一切nN*恒成立,即(n1)lg k1时,lg k0,n1(n2)k2对一切nN*恒成立;当0k1时,lg k(n2)k2对一切nN*恒成立,只需k2min,1单调递增,当n1时,取得最小值,即min,k2,且0k1,0k0。由0an得1,2,即12。(2)由题意得aanan1,所以Sna1an1。由和12得12,所以n2n,因此an1(nN*)。由得(nN*)。11