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1、让学习更有效1第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算： _814157.62.8025【难度】【考点】计算：提取公因数【答案】12【解析】 814157.6.80252.018.14.8252.01原 式2. 甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树_棵【难度】【考点】应用题：分数应用题【答案】13【解析】甲=总数的三分之一=20 ，乙=总数的四分之一=15，丙=总数的五分之一=12 ，所以丁（棵）60215
2、33. 当时间为 5 点 8 分时，钟表面上的时针与分针成_度的角【难度】【考点】行程：时钟问题【答案】106【解析】5 点时，时针分针夹角 150 度，每分钟追赶 度，所以 8 分钟追赶 度，所以60.55.84成 度1046让学习更有效24. 某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数，那么这个数最小为_【难度】【考点】数论：余数、最小公倍数【答案】122【解析】这个三位数减去 2 得到 3、4、5、6 的公倍数，取三位数 120，所以最小值为 1225. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有
3、三个国家两两都是敌国对于一种这样的星球局势，共可以组成_个两两都是友国的三国联盟【难度】【考点】计数：组合计数【答案】7【解析】用 这 7 个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友123456,AA国关系则每个国家连出 2 条虚线，4 条实线共 条虚线，其余为实线72首先说明这 7 个点必然由 7 条虚线依次连接为一个闭合回路 必与两个点连接虚线，不妨记为2A，而 必然再与一个点连接虚线，记为 ；13,3 4A虚线连接 ，否则剩下 3 个点互为敌国关系；45虚线连接 ，否则剩下两个点无法由 2 条虚线连接；5A6虚线连接 ，最后 只能虚线连接 677A1最终连线图如下只要选出
4、的三个点没有任何两个相邻则满足条件有 135，136，146，246，247，257，357，这7 种 （为了直观我们用 分别代表 ）1,2345,671234567,AA6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，则这些四位数中最大的是_，最小的是_【难度】【考点】数论:位值原理【答案】9421，1249【解析】设其中最小的四位数为 ，一共可组成 个不同的四位数，由于每个数字在每位abcd43214上均出现 6 次，则 24 个数和为 ，则四个数字之和为 16，所以最6065bcd让学习更有效3大和最小的可能为，9421 和 1249、8521 和 12
5、58、8431 和 1348、7621 和 1267、7531 和1357、7432 和 2347、6541 和 1456、6532 和 23567. 见右图，三角形 的面积为 1， ， ，则三角形 的面积ABC3:1:OBD5:4:AEDOE为_【难度】【考点】几何：等积变形【答案】135【解析】 y15x5x12x4xOEDCBA设三角形 的面积为 ，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为 ，再设三E4 5,12x角形 的面积为 ，则有 ，得 ，则三角形 的面积为DCy4512CEyxx14yDOE41355128. 三个大于 1000 的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第
6、三个数的个位数字，那么这 3 个数之积的末尾 3 位数字有_种可能数值【难度】【考点】组合：分类讨论数论综合【答案】4【解析】设三个数的个位分别为 ,abc1 如果 都相等，则只能都为 0；,abc2 如果 中有两个相等， 且 ，必有 ，则 ，与 为数字矛盾；,1a1c 且 ，则有 ，则 ；c,c5,0ac3 如果 都不相等，设 ，则 ，则 ，与 为数字矛盾；,abb1bb10c让学习更有效4综上三个数的个位分别为 0，0，0 或 0，5，5；如果都为 0，则乘积末尾 3 位为 000；如果为 0，5，5如果个位为 0 的数，末尾 3 位都为 0，则乘积末尾 3 位为 000；如果个位为 0
7、的数，末尾 2 位都为 0，则乘积末尾 3 位为 500 或 000；如果个位为 0 的数，末尾 1 位为 0 设末尾两位为 ，设另外两个末尾 2 位为 ，则0c5,ab，若 为奇数，则乘积末尾 3 位为 75；若 为偶数则乘515ababab积为 25，在乘上 ,无论 为多少，末尾三位只有 000，250，500，750 这 4 种综上，积的末尾0c3 位有 000，500，250，750 这 4 种可能二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 将 1234567891011 的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由【难度】【考点】数论：完全平方数【答
8、案】不能【解析】原数的数字和为 ，为 3 的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，12391048所以无论怎么调整得到的数一定为 3 的倍数；而一个平方数如果为 3 的倍数，则一定为 9 的倍数，而 48 不是 9 的倍数，所以无法通过交换数字位置得到一个完全平方数10. 如右图所示，从长、宽、高为 15，5，4 的长方体中切走一块长、宽、高为 的长方体（,5yx为整数） ，余下部分的体积为 120，求 和 ,xy xy yx5154【难度】【考点】几何：长方体正方体【答案】 3,12xy【解析】15450解得 ； ，因为 为整数，且 ，36xy136281496,xy4,15xy所以 ,让学习
9、更有效511. 圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？【难度】【考点】行程问题：环形跑道【答案】5 次【解析】设每两面旗子间距离为 1，即跑道周长为 因为 ，设 ， ，甲2015:23:1v甲 乙 23vx甲 1vx乙要追上乙则需比乙多跑 圈， ， ，即甲追上乙时所花时间n3xtn05xtn，则甲追上乙时，所走路程为 ；要恰好在旗子位置追上，则所走4032ntx 4322路程一定为整数，即 为偶数，所以 （最多多跑 10 圈） ；综上所述，甲正好n,
10、6,810n在旗子位置追上乙 5 次12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜，10 平后多得2 分者胜两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？【难度】【考点】组合：体育比赛【答案】8【解析】设赢的为甲，输的为乙甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不符合题意，所以甲第二局输第三局赢甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得 4 分，所以乙第二局至少赢甲 4 分及以上，所以只能以 11 分取胜所以第二局的比分可以为： ，共 8 种 （乙在第二局赢了多少分，甲都可0:1,2:17:以
11、通过一、三局赢回多少分使两人总分相同，所以甲在第二局得分从 07 都可能；例如三局比分分别为 20:18、0:11、11:2）三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点 M 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上的一点，且 ，四边形 EBFC2:1:MCD为平行四边形，FM 与 BC 交于点 G若三角形 FCG 的面积与三角形 MED 的面积之差为cm2，求平行四边形 ABCD 的面积13让学习更有效6【难度】【考点】几何：蝴蝶模型【答案】60【解析】连接 BD/DEBC12MCEDMBSAAA令 DMaA则 24CECBaAA， 6BFSA/3
12、2GCFBSA3318625GBCFSaAA1CFDEMS185a246BCDMBCSSaAAA 22150Dcm14. 设“一家之言” 、 “言扬行举 ”、 “举世皆知”、 “知行合一”四个成语中的每个汉字代表 11 个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21，则“行”可以代表的数最大是多少?【难度】【考点】组合：最值构造【答案】8【解析】经观察不难发现其中“一”， “言”， “举”， “知”， “行”，各出现两次，其它汉字只有一次令这五个汉字所代表的数依次为 （均为正整数） ，,abcde设 11 个连续自然数为 ，12,1xx则 ，1224x ce 即 ，则 ，且 时， 最大为 8，11 个数8abcde0x310abde为 1 到 11可构造出“一家之言”、 “言扬行举”、 “举世皆知”、 “知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”， “1，9，7，4”， “4，8，6，3”综上， “行”可代表的数最大为 8
