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1、【毕业论文】中学数学思想方法浅谈-创新思维的培养 【标题】中学数学思想方法浅谈-创新思维的培养【作者】胡 哓 英 【关键词】数学思想数学方法区别创新 【指导老师】杨 世 辉 【专业】小学教育 【正文】1?引言数学思想是人们在建立数学理论或解决数学问题时所用到的一些思想。是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实和数学理论的本质认识。数学思想是思维科学的一个重要分支，也是思维科学的一个重要组成部分。而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。数学思想比数学方
2、法具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。数学思想是数学方法的灵魂，是其相应的方法的精神实质和理论基础。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。而数学思想、数学方法两者密不可分，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法，它们同属于方法论的范畴，所以把数学思想与数学方法统称为数学思想方法。数学思想方法具有3：概括性，它是不断地从数学概念、数学命题和数学理论中提炼和概括的产物；隶属性，数学知识成为数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显化；层次性，数学思想方法是概括的结果，概括程度的高低决定了数学思想方法具有不同的层次；迁移
3、性，数学内部是沟通数学各分支、各部分之间联系的纽带和桥梁，数学外部能沟通数学与其它科学的联系，产生更加广泛的迁移。数学思想是成为学生良好认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。数学思想方法是数学的本质所在，是数学的精髓。数学思想和方法纳入基础知识的范畴，足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视，也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。这不仅是加强素质培养的一项举措，也是数学基础教育现代化进程的必然与要求。2?中学阶段渗透的主要的数学思想方法2.1分类
4、讨论思想分类讨论是比较数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于帮助学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。分类讨论是根据数量关系或空间形式的某一标准将数学对象分为不同种类，然后分别对它们进行讨论，得出各种情况下的数学思想方法。分类是解决数学问题的手段和策略之一，通过分类可以化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，可以把一个复杂问题分解成若干个相对简单明了的问题，数学中的分类有现象分类和本质分类两种，前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为依据的，如复数分为实数与虚数等，这种分法看上去一目了然，但不能揭示
5、所分对象之间的本质联系；后一种分类是按照对象的本质特征、内部联系进行分类的，如函数按单调性或有界性分类的，多面体按柱、锥、台分类等。引起分类讨论的主要原因有：由数学概念引起的分类讨论；由数学定理、性质、公式的限制条件、数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论；由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论；对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类。例9已知关于的两个方程：42-8nx-3n=2x2-（n+3）x-2n2+2=0若方程的两个实数根的差的平方等于方程的一个整数根，求n的值。解：在方程42-8nx-3n=2中，=（8n）2-44（-3n-2）=64n2+48n+32=（8n
6、+3）+23 0，n为任何实数，方程都有两个不等实根。设方程的两根分别为、，则+=2n，?=（-3n-2）/4.（-）2=（+）2-4=（2n）2-4（-3n-2）/4=4n2+3n+2.由方程x2-（n+3）x-2n2+2=0，得x-（2n+2）x+（n-1）=0.得x1=2n+2,x2=-n+1.(1)若x=2n+2为整数根,依题意,4n2+3n+2=2n+2.解得n1=0,n2=-1/4.当n=0时,x1为整数;当n=-1/4时,x1不是整数.n=-1/4舍去,n=0.(2)若x2是整数根,依题意,4n2+3n+2=-n+1.解得n3=n4=-1/2.当n=-1/2时,x2不是整数.当n
7、=-1/2舍去.综上所述,当n=0时,方程两实根差的平方等于方程的一个整数根.所求的n值要满足使两个方程都有两个实数根,即判别式大于零或等于零,还应满足使方程的两个实数根的差的平方等于方程的一个整数根.利用根与系数的关系,?方程两实根差的平方易于用含n的代数式表示,但方程的两根中哪个是整数根呢?显然要对方程的两根进行讨论.在数学解题时,注意讨论思想的运用,是培养创造思维和创新能力的有效途径.2.2数形结合思想一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立的，其实在一定条件下它们是可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。数形结合就是把数学中
8、的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想.在解题方法上,“数”与“行”相互转化,从而使问题化难为易,化繁为简,达到解决问题的目的。我们所学习的数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到充分的锻炼，以便积极地培养学生的创新思维。例：解不等式组：2x-1 04-x 0并在数轴上表示出来解：由得x 1/2，再由可得x 4。所以1/2 X 4。本题的解答充分体现了数形结合的思想方法，不等式的解集可以用代数方法表示，但用数轴表示更形象直观。数形结合在
9、中学数学中得到充分的应用，例如：点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与半径两者的大小来确定；直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小关系来确定；圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小关系来确定；又如：勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如：有理数的加法法则、乘法法则、不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中进行问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。在数学教学中，由数想形以形助数的
10、数形结合思想，具有使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题目中数量之间的关系，丰富表象，引发联想启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合的教学不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。2.3化归思想化归思想是数学思想方法体系主梁之一，它是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的，其最终的目的是将未知转化成已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题的转化、抽象问题向具体问题的转化等。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学
11、中都有让学生对化归思想方法的认识。如：已知（x+y）2=11，xy=1求x2+y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，易得知：原式得9；又如：“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如：解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了化归思想。在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出除法法则，使加减法统一起来。对等腰梯形有关性质的探索，经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三角形的知识上来。除此之外，很多知识之间都存在着相
12、互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三角形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答等。2.4变换转化思想就是由一种形式转变成另一种形式的思想。构造思想和转化思想是数学中的两大基本思想，这是由数学和数学方法的本质所决定的。转化的思想是一种最基本的数学思想，也是数学中特有的思想。结构A和结构B尽管具体内容不同，但从抽象的关系来看起本质可以相同或部分相同。这样在结构A中陈述的问题可以在结构B中找到相应的陈述，反之亦然，如果在结构A中问题所涉及的关系比较隐晦而难以处理，而在结构B中相应的问题反倒比较明显而易于处理，则我们将A中的
13、问题转化为B中的问题显然有助于问题的解决。这正是数学的高度抽象的结构性的特点为转化思想提供了前提和基础。解决数学问题的最基本思路就是对数学命题进行等价转化或非等价转化使问题在转化中得到解决。在中学数学中常见的几种转化方向：?转化为特殊情况有的数学问题所要求的结论，在一般情况下不容易得出，但在特殊情况下非常易于处理，并且在很多的时候特例对一般问题的解决有奠定和桥梁的作用。?转化为奠基条件这一类问题的特征是，问题甲在问题乙的基础上求解，问题乙又在问题丙的基础上求解，这样逐步转化下去，一直追溯到最原始的基础，然后逆其次序即可得到问题的解。数学中常用的递推、迭代、数学归纳法、分析法（倒推法）等等都是运
14、用这一类转化思想。典型状态这一类转化是数学中最常见的转化方向，所谓典型问题是指那些具有标准形式和固定解法程序的问题，例如一元二次方程有固定的解法，我们常把一些无理方程、分式方程等转化为标准的方程求解，等比级数有固定的求和方法，我们在求级数的和时，就看它能否化为等比级数以求和，其他诸如数学中的换元、变换等，大都也是把求解的问题转化为有固定解法的标准状态。渐进过程在数学研究中，许多问题不可能一开始就直接获得解决，往往退而求其次，采取迂回包抄，逐步逼近的方法求解，因此，常把问题转化为渐进状态。已能解决的问题这是转化思想中最重要也是最有效的思想之一。我国当代数学家徐利治教授近年来致力于数学思想方法的研
15、究，提出了杰出的贡献。他提出的“关系?映射?反演”方法，是把数学问题向已解决问题转化这一思想的典型范例。2.5方程与函数思想就是用联系的、发展的、运动变化的观点分析研究具体问题中的数量关系，也即是用函数的观点、方法研究问题，建立已知与未知之间的数学关系式，即方程、方程组或函数解析式，通过研究这些数量关系使问题得到解决。中学数学中方程、数列、不等式等问题都可以利用函数思想得以简解，大致有列方程（组）或函数解析式解应用题和列方程（组）或函数解析式代数或几何问题。例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件利润40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元商场平均每天可多售出两件。(I)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(II)?每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天要盈利最多？解：（I）设每件衬衫应降价x元，依题意，得（40-x）（20+2x）=1200得x1=10，x2=20。要尽快减少库存，所以x=20。（II）设商场平均每天要盈利y元。依题意，有y=（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250，（0x40）。当x=15时，y最大=1250。这是经济生活中的实际问题，我们的生活中有很多这样的问题。如：设件数为y，单价为x，成本价为x
