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1、第一章 曲线论1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略2. 求证常向量的微商等于零向量。证：设r=c，tI为常向量，因为limt0rt+t-r(t)t=limt0c-ct=0所以 r=0。 证毕3. 证明ddtr(t)(t)=rtt-r(t)(t)2(t)证：ddtr(t)(t)=ddt-1(t)r(t)=-2ttrt+-1trt=rtt-r(t)(t)2(t)证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。证：设r=rt=x(t)y(t)z(t)，tI为定义在区间I上的向量函数，因为rt在区间I上可导当且仅当数量函
2、数 x(t)，y(t)和z(t)在区间I上可导。所以，t0I，根据数量函数的Lagrange中值定理，有xt=xt0+x(1)(t-t0)yt=yt0+y(2)(t-t0)zt=zt0+z(3)(t-t0)其中1，2，3介于t0与t之间。从而r=rt=x(t)y(t)z(t) =xt0+x(1)(t-t0)yt0+y(2)(t-t0)zt0+z(3)(t-t0) =xt0yt0zt0+x(1)y(2)z(3)(t-t0) =r0+(t-t0)上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中=x1y2z3。如果在区间I上处处有rt=x(t)y(t)z(t)=0，则在区间I上处处有xt=yt=zt=0，
3、从而=x1y2z3=0，于是r=r0。 证毕5. 证明r=rt具有固定方向的充要条件是rr=0。证：必要性：设r=rt具有固定方向，则r=rt可表示为r=rt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，于是rr= ttee=0。充分性：如果rr=0，可设r0，令r=rt=(t)e(t)，其中(t)为某个数量函数，e(t)为单位向量，因为r=tet+(t)e(t)，于是rr=0tettet+tet=02te(t)e(t)=0因为r0，故2t0，从而etet=0e(t)e(t)2=0e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)e(t)=0100e(t)2=e(t)2=0et=
4、0e(t)=e为常向量，于是，r=rt=(t)e，即r=rt具有固定方向。 证毕6. 证明r=rt平行于固定平面的充要条件是r,r,r=0。证：必要性：设r=rt平行于固定平面，则存在一个常向量p，使得pr=0，对此式连续求导，依次可得 pr=0和 pr=0，从而r，r，和r共面，因此 r,r,r=0。充分性：设r,r,r=0，即rrr=0，其中，如果rr=0，根据第5题的结论知，r=rt具有固定方向，则r=rt可表示为r=rt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，任取一个与e垂直的单位常向量c，于是作以n=ec为法向量过原点的平面，则r平行于。如果rr0，则r与r不共线，又由
5、r,r,r=0 可知，r，r，和r共面，于是 r=(t)r+(t)r，其中(t)，(t)为数量函数，令n=rr，那么n=rr=(t)n，这说明n与n共线，从而nn=0，根据第5题的结论知，n具有固定方向，则n=nt可表示为n=nt=(t)e，其中(t)为某个数量函数，e为单位常向量，作以e为法向量，过原点的平面，则r平行于。 证毕2曲线的概念1. 求圆柱螺线r=cost,sint,t在点(1,0,0)的切线与法平面的方程。解：r=-sint,cost,1，点(1,0,0)对应于参数t=0，于是当t=0时，r=1,0,0，r=0,1,1，于是切线的方程为：x-10=y1=z1法平面的方程为y+z
6、=02. 求三次曲线r=at,bt2,ct3在点t0处的切线和法平面的方程。解：r=a,2bt,3ct2，当t=t0时，r=at0,bt02,ct03，r=a,2bt0,3ct02，于是切线的方程为：x-aa=y-bt022bt0=z-ct033ct02法平面的方程为ax-a+2bt0y-bt02+3ct02z-ct03=03. 证明圆柱螺线r=a cost,a sint,bt的切线和z轴成固定角。证：r=-a sint,a cost,b令为切线与z轴之间的夹角，因为切线的方向向量为r=-a sint,a cost,b，z轴的方向向量为k=0,0,1，则cos=rk|r|k|=ba2+b2=a
7、rccosba2+b2证毕4. 求悬链线r=at,a cosht (-t+)从t=0起计算的弧长。解：r=a,asinhts=0t|r|dt=0ta2+(asinht)2dt=a0tcoshtdt=asinht5. 求抛物线y=bx2对应于-axa的一段的弧长。解：y=2bxs=-aa1+y2dx =-aa1+4b2x2dx=20a1+4b2x2dx=1b0a1+(2bx)2d(2bx)=1bbx1+4b2x2+12ln2bx+1+4b2x20a=a1+4a2b2+12bln2ab+1+4a2b26. 求星形线x=acost3，y=asint3的全弧长。解：s=402x2+y2dt=12a02
8、sintcost dt=6a7. 求旋轮线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)对应于0t2一段的弧长。解：s=02x2+y2dt=2a021-costdt=2a02sint2dt=8a8. 求圆柱螺线r=3a cost,3a sint,4at (-t0 或 t3 空间曲线1. 求圆柱螺线r=a cost,a sint,bt在任意点的密切平面的方程。解：密切平面的方程为X-a costY-a sintZ-bt-asintacostb-acost-asint0=0即 absint(X-a cost)-abcost(Y-a sin t)+a2Z-bt=02. 求曲线r=t sint,t c
9、ost,t et在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。解：r=t sint,t cost,t etr=sint+tcost,cost-tsint,1+tetr=2cos t-t sint,-2sint-t cost,(2+t) et原点(0,0,0)对应于参数 t=0,于是在t=0处，r=0,0,0r=0,1,1r=21,0,1=r|r|=120,1,1=rr|rr|=131,1,-1=162,-1,1密切平面的方程为X+Y-Z=0副法线的方程为X1=Y1=Z-1法平面的方程为：Y+Z=0切线的方程为X0=Y1=Z1从切平面的方程为2X-Y+Z=0主法线的方程为X2=
10、Y-1=Z13. 证明圆柱螺线r=a cost,a sint,bt的主法线和z轴垂直相交。证：r=a cost,a sint,btr=-a sint,a cost,br=-a cost,-a sint,0=r|r|=1a2+b2-a sint,a cost,b=rr|rr|=1a2+b2b sint,-b cost,a=- cost,- sint,0一方面，主法线的方程为X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0另一方面，过圆柱螺线r=a cost,a sint,bt上任意一点M(a cost,a sint,bt)作平面与z轴垂直，的方程为Z-bt=0，与z轴的交点为N(0,0
11、,bt)，过M与N的直线显然与z轴垂直相交，而其方程为X-acostcost=Y-bsintsint=Z-bt0这正是主法线的方程，故主法线和z轴垂直相交。 证毕4在曲线r=cos cost,cos sint,tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令a=cos , b=sin，则曲线的方程可表示为：C1: r=a cost,a sint,bt, a2+b2=1 设C1的副法线向量为，则有=rr|rr|=1a2+b2b sint,-b cost,a=b sint,-b cost,a根据题意，新曲线的方程可表示为C2: =r+=a cost+b sint,a sint-b cost,a+bt将a=cos , b=sin代入上式，整理后，得C2: =cost-, sint-,(sin)t+cos=-sint-,cost-,sin=-cost-, -sint-,0=sin sint-,-sincost-,1于是新曲线C2的密切平面为：sin sint-X-cos(t-)-sincost-Y-sin+Z-(sin)t -cos=0即：sin sint
