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1、第十四章 刚体的平面运动,14.1 刚体的平面运动方程14.2平面运动的分解14.3平面图形内各点速度分析,14.1 刚体的平面运动方程,设有平行于固定平面I(图141)作平面运动的刚体，以平行于平面I的另一平面截割这刚体，则所得的截面S将始终保持在平面内运动。 取定系Oxyz，令坐标平面0xy重合于平面(图141)。刚体内与截面S(平面图形)相垂直的任一直线A1A2在运动中保持平行于轴z且其上任一点的z坐标不变，即直线A1A2 作平面平动。因此，这直线的运动可用它与平面图形S的交点A的运动来代表，而整个刚体的运动则可用平面图形S的运动来代表。 由此可见，刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其
2、本身平面内的运动来研究(图14-2)。,下一页,返回,14.1 刚体的平面运动方程,上式称为刚体平面运动方程，它描述了平面运动刚体作为整体的运动规律。从式(141)出发可以进一步写出图形上任一点的运动方程。 因为图形S内各点一般有不同的运动，所以方程(141)的前两式，以及这两式求导所得到的基点的速度、加速度都与基点的选择有关。,返回,上一页,142平面运动的分解,用前一节所建立的运动方程(解析法)原则上已解决了图形S及其上点的绝对运动问题。但在工程实际中，用合成(分解)法研究平面运动更加方便、直观。 以基点O为原点，设定(默认)一个平动动参考系Oxy。为简明，令轴z、y始终与定轴z、y分别平
3、行(图144)。显然，动系Oxy的运动为平面平动，其运动规律由原点O(基点)的运动方程(式(141)中的前二式)所代表。这样，图形S对定系的平面运动可分解为两个分运动：(1)随同基点(或动系)的平动，这是牵连运动；(2)相对于动系Oxy绕基点的转动，这是相对运动。,下一页,返回,142平面运动的分解,如上所述，图形的平动部分可用基点的运动代表，其运动方程是式(141)的前两式。因而平动的轨迹、速度、加速度都与基点的选择有关。由图144，图形(相对)转动部分的运动方程应写为=(t)。但因动系作平动，恒有= ，即相对运动的转角及其各阶导数分别与图形绝对运动的转角、各阶导数完全相同。又考虑到式(14
4、1)第三式的导数与基点、基线的选择无关，由此得到重要结论：在动系是随同基点平动的情况下，平面图形绕基点相对转动的角速度、角加速度的大小和转向都与基点、基直线的选择无关，都分别与图形的(绝对)角速度、(绝对)角加速度的的大小转向相同。今后在把图形的运动分解为平动和转动(基点法，见后)的讨论中，所涉及的角速度与角加速度的大小与转向，既不必区别是相对的还是绝对的，也不须指定是绕哪个基点的。,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,一、平面图形内各点速度分析的基点法 应用复合运动的方法，把平面图形的运动分解成随同基点的平动和绕基点的转动后，就可以应用点的复合运动的概念和理论来分析平面图形上各点的
5、速度和加速度。 设在平面图形上取点O作为基点（图14 - 5），已知基点的速度是v0，图形的角速度大小是（为了方便，本章中角速度和角加速度都只取绝对值）。求图形上任一点M的速度。 点M作复合运动，牵连运动是以基点O的速度v0进行的平动。因此点M的牵连速度等于,下一页,返回,14.3平面图形内各点速度分析,相对运动是点M绕基点O的圆周运动。点M的这一相对速度改记为vMO，即写成 它简称为点M绕基点0转动的速度， vMO的大小等于 方向垂直于转动半径MO，指向与的转向一致。于是，由点的速度合成定理就可以求得点M的绝对速度,下一页,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,即：平面图形上任一点的
6、速度等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和。这种求平面图形上任一点速度的方法称为基点法，又称为合成法。 这结果表示了速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上投影彼此相等。其实这个定理也可以从刚体不变形的特性直接推出，因而它适用于刚体的任何运动。,下一页,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,二、平面图形内各点速度分析的瞬心法 应用基点法求平面图形上任一点的速度时，如果选图形上瞬时速度等于零的一点作为基点，那么计算将能简化，因为这时图形上任一点的速度就等于绕基点转动的速度这一项了。问题是每瞬时图形上是否的确存在速度等于零的一点? 设已知图形上某点O的速度是，图形的角速度
7、是 (图148)。选点O作为基点，把v0顺着图形转动的方向转过一直角而作出半直线OA，在这半直线上所有各点的牵连速度和相对速度都方向相反。但各点的牵连速度都等于基点的速度，而相对速度的大小则正比于该点到基点的距离。因此，其中必有一点P，它的相对速度和牵连速度大小相等而方向相反，因而绝对速度等于零。 点P的位置应满足下列关系式：,下一页,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,或 即：如平面图形的角速度不等于零，则在该瞬时图形上总有速度为零的一点。这个点称为图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 如取瞬心P作为基点，则平面图形上任一点M的速度大小 且vM垂直于转动半径MP并指向图形绕P转动的前方(
8、图149)。,下一页,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,这就是说，平面图形上各点的速度分布就像定轴转动时一样。因此，可以认为：在图形角速度不为零的每一瞬时，图形绕固定平面上重合于速度瞬心的一点在转动。这是平面图形(绝对)运动的又一种描述，而这个转动的角速度就是图形的(绝对)角速度。 应用瞬心法，须先求找该瞬时瞬心在图形中的位置。以下介绍各种情况下确定瞬心位置的一般方法。 (1)已知图形上某一点O的速度v0和图形的角速度的大小和转向。这时求速度瞬心的方法已在讨论速度瞬心存在时给出(如图148)。 (2)已知某瞬时平面图形上A，B两点速度的方位且两者不平行。由于图形上各点速度应垂直于该
9、点和瞬心的连线，故过A、B分别作出vA vB的垂线，其交点P是图形的瞬心(图1410)。这时如已知vA或vB的大小和指向，即可求出图形的瞬时角速度大小：,下一页,返回,上一页,14.3平面图形内各点速度分析,(3)已知图形上A，B两点速度vA 和vB的方位互相平行，且与连线AB的交角90。(图14一11)。这时速度瞬心P落到无穷远处，PA。，因而在该瞬时的角速度w= vA /PA=0 。利用速度投影定理，可以立即证明vA =vB 。事实上在该瞬时，图形上所有各点的速度都相互平行且大小相等，其速度分布和平动时一样。这种情况下图形的运动称为瞬时平动(这种现象只能瞬时存在，因为图形上备点的加速度未必相等)。(4)已知vA 和vB大小不等但互相平行，且垂直于连线AB(图1412(a)和(b)。根据图149表示的速度分布规律，瞬心P是通过AB的直线和通过vA 、 vB端点A、B的直线的交点。(5)若平面图形沿某一固定曲线轨道作纯滚动(图1413)，则因图形上与轨道接触点P的瞬时速度为零，此点即为图形在该瞬时的瞬心。,返回,上一页,图14-1,返回,图14-2,返回,图144,返回,图144,返回,图14 - 5,返回,图14-8,返回,图14-8,返回,图14-9,返回,图14-9,返回,图14-10,返回,图4-11,返回,图 14 - 12,返回,图 14 - 13,返回,
