第九讲地统计分析方法

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1、1 基础知识 地统计（Geostatistics）又称地质统计，是在法国著 名统计学家G. Matheron大量理论研究的基础上 逐渐形成的一门新的统计学分支。它是以区域化 变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性 又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现 象的一门科学。 凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性 和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对 这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数 据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理 论与方法。 地统计分析的核心就是通过对采样数据的分析、对 采样区地理特征的认识选择合适的空间内插方法 创建表面。 2 n前提假设 n随机过程 地

2、统计学认为研究区域中的所有样本值都是随 机过程的结果，即所有样本值都不是相互独 立的，它们是遵循一定的内在规律的。因此 地统计学就是要揭示这种内在规律，并进行 预测。 n正态分布 若不符合正态分布的假设，应对数据进行变换 ，转为符合正态分布的形式，并尽量选取可 逆的变换形式。 3 n平稳性 包括两种平稳性：一类是均值平稳；另一类是与协方差 函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳 。 均值平稳，即假设均值是不变的并且与位置无关； 二阶平稳是假设具有相同的距离和方向的任意两点的 协方差是相同的，协方差只与这两点的值相关而 与它们的位置无关； 内蕴平稳假设是指具有相同距离和方向的任意两点的

3、方差（即变异函数）是相同的。二阶平稳和内蕴 平稳都是为了获得基本重复规律而作的基本假设 ，通过协方差函数和变异函数可以进行预测和估 计预测结果的不确定性。 4 n区域化变量 n当一个变量呈现一定的空间分布时，称之为区 域化变量，它反映了区域内的某种特征或现象 。 n区域化变量与一般的随机变量不同之处在于， 一般的随机变量取值符合一定的概率分布，而 区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的 值。而当区域化变量在区域内确定位置取值时 ，表现为一般的随机变量，也就是说，它是与 位置有关的随机变量。 n区域化变量具有两个显著特征：即随机性和结 构性。 地统计学是以区域化变量理论为基础 ，以变异函数为主

4、要工具，研究那些在空 间分布上既有随机性又有结构性，或空间 相关和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变 量理论为基础建立起来的地统计学的两个 最基本的函数。地统计学的主要方法之一 ，克立格法就是建立在变异函数理论和结 构分析基础之上的。 （一）协方差函数 n协方差函数的概念 区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示 。 在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为 E(.)为期望值. 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量 和的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即 （4.2.2） (4.2.1) n协方差函数的计算公式 式中：h为两样本点空间分隔距离

5、或距离滞后； 为 在空间位置 处的实测值； 是 在 处距离偏离h的实测值i=1，2， ， 是分隔 距离为h时的样本点对（paris）总数， 和 分别为 和 的样本平均数,即 (4.2.3) (4.2.4) (4.2.5) 若 = =m（常数），则上式可 以改写为 式中：m为样本平均数，可由一般算术平 均数公式求得，即 (4.2.6 ) （二）变异函数 n变异函数的概念 变异函数variograms），又称变差函 数、变异矩，是地统计分析所特有的基本 工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空 间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x) 在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的 一半

6、为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异 函数，记为(h)，即 (4.2.7 ) 方差等于平方均值减去均值的平方 在二阶平稳假设条件下，对任意的h有 因此，公式可以改写为 从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x和h，当变异函数 仅仅依赖于距离h 而与位置x无关时， 可改写成 ，即 (4.2.9) (4.2.8) n变异函数的性质 设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳 假设条件下，变异函数式具有如下性质： (1) =0，即在h=0处，变异函数为0； (2) = ，即 关于直线h=0是 对称的，它是一个偶函数； (3) 0，即 只能大于或等于0； n变异函数的计算公式 设 是系统某属性Z在空间位

7、置x处 的值， 为一区域化随机变量，并满足二 阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离， 和 分别是区域化变量 在空间 位置 和 处的实测值i=1,2,N(h)， 那么，变异函数 的离散计算公式为 (4.2.10) 这样对不同的空间分隔距离h，计算出相 应的 和 值。如果分别以h为横坐标， 或 为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲 线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间 变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化 变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域 化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和 空间结构分析的有效工具。 例如：假设某地区降水量Z(x)（单位： mm）是二维区域化随机变量，满足

8、二 阶平稳假设，其观测值的空间正方形网 格数据如图4.2.1所示（点与点之间的距 离为h=1 km）。试计算其南北方向及西 北和东南方向的变异函数。 图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1 km） 从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由 于某种原因没有采集到。如果没有缺失值， 可直接对正方形网格数据结构计算变异函数 ；在有缺失值的情况下，也可以计算变异函 数。只要“跳过”缺失点位置即可（图4.2.2） 。 首先计算南北方向上的变异函数值，由变 异函数的计算公式可得 =385/72=5.35 图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程 为缺失值 同样计算出 最后，得到南北方向和

9、西北东南方向上 的变异函数计算结果见下表。同样可以计算东 西方向上的变异函数。 方向 南北 方向 西北东南 h 12345 h 1.4 1 2.824.245.657.07 N(h ) 36 27 21 13 5 N(h) 32211382 5.3 5 9.2 6 17.5525.6922.907.0 6 12.9530.8558.1350.0 0 n变异函数的参数 变异函数有个非常重要的参数，即基台 值（sill）、变程（range）或称空间依赖范围 （range of spatial dependence）、块金值（ nugget）或称区域不连续性值（localized discontin

10、uity）和分维数（fractal dimension） 。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到 。它们决定变异函数的形状与结构。 变异函数的形状反映自然现象空间分布结 构或空间相关的类型，同时还能给出这种空间 相关的范围。 当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到 一个相对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C。 当间隔距离h=0时，(0)= C0，该值称为块金值或 块金方差（nugget variance）。 基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函 数达到基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在 ha以后，区域化变量Z(x)空间相关性消失。 块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非

11、连续 变异，由区域化变量的属性或测量误差决定。 上述个参数可从变异函数曲线图直接 得到，或通过估计曲线回归参数得到。 第4个参数，即分维数用于表示变异函 数的特性，由变异函数 和间隔距离h之间 的关系确定 分维数D为双对数直线回归方程中的斜 率，它是一个无量纲数。分维数D的大小， 表示变异函数曲线的曲率，可以作为随机变 异的量度。但该随机分维数D与形状分维数 有本质的不同。 n变异函数的理论模型 地统计学将变异函数理论模型分为3大类： 第1类是有基台值模型，包括球状模型、指 数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金 效应模型； 第2类是无基台值模型，包括幂函数模型、 线性无基台值模型、抛物线

12、模型； 第3类是孔穴效应模型。 下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理 论模型。 纯块金效应模型:其一般公式为 式中：c00，为先验方差。该模型相当 于区域化变量为随机分布，样本点间的协方 差函数对于所有距离h均等于0，变量的空间 相关不存在。 (4.2.11) 球状模型:其一般公式为 式中：c0为块金（效应）常数;c为拱高 ;c0+c为基台值;a为变程。当c0=0，c=1时，称 为标准球状模型。球状模型是地统计分析中 应用最广泛的理论模型，许多区域化变量的 理论模型都可以用该模型去拟合。 (4.2.12) 指数模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。 当h=3时， ，即

13、 ，从而 指数模型的变程 约为 。当c0=0，c=1时，称 为标准指数模型。 (4.2.13 ) 高斯模型:其一般公式为 式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 时， ，即 ，因此高斯模型的 变程 约为 。当 时，称为标准高斯函数 模型。 (4.2.14) 幂函数模型:其一般公式为 式中：为幂指数。当变化时，这种模型可以反 映在原点附近的各种性状。但是必须小于2，若 ， 则函数 就不再是一个条件非负定函数了，也就是 说它已经不能成为变异函数了。 (4.2.15) 对数模型:其一般公式为 显然，当 ，这与变异函 数的性质 不符 。因此，对数模型不能 描述点支撑上的区域化变量的结构。 (4.

14、2.16) 线性有基台值模型:其一般公式为 式中:该模型的变程为a，基台值为 。 线性无基台值模型:其一般公式为 从式中可以看出，该模型没有基台值，也没有 变程。 (4.2.18) (4.2.17) 例如:某地区降水量是一个区域化变量，其变 异函数 的实测值及距离h的关系见下表， 下面我们试用回归分析方法建立其球状变异 函数模型。 实测值(h)距离h实测值(h)距离h 2.10.69.24.9 4.31.110.35.1 5.72.210.56.2 6.52.510.97.5 7.83.111.29.5 8.83.812.49.8 从上面的介绍和讨论，我们知道，球状 变异函数的一般形式为 当

15、时，有 如果记 ， 则可以得到线性模型 根据表中的数据，对上式进行最小二乘 拟合，得到 (4.2.20) 计算可知，上式的显著性检验参数 F=114.054，R2=0.962，可见模型的拟合效果 是很好的。 (4.2.19) 比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并做简 单计算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353， 所以，球状变异函数模型为 (4.2.21) (三)克立格插值方法 克立格（Kriging）插值法，又称空间局 部估计或空间局部插值法，是地统计学的主 要内容之一。克立格法是建立在变异函数理 论及结构分析基础之上的，它是在有限区域 内对区域化变量的取值进行无偏最优估计的 一种方法。 克立格法适用的条件是，如果变异函数 和相关分析的结果表明区域化变量存在空间 相关性。 其实质是利用区域化变量的原始数据和 变异函数的结构特点，对未采样点的区域化 变量的取值进行线性无偏、最优估计。 克立格插值（riging interpolation)是根据 变异函数模型而发展起来的一系列地统计的空 间插值方法，包括： 普通克立格法（ordinary riging）; 泛克立格法（universal riging）; 指示克立格法（indicator riging）; 析取克立格法（disjuncti