《自动控制原理-胡寿松-第五版第二章ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理-胡寿松-第五版第二章ppt（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 主要内容主要内容: : 1.1.数学模型的概念数学模型的概念, ,建模的原则建模的原则 2.2.传递函数传递函数 3.3.系统的结构图和信号流图系统的结构图和信号流图 2.1.1 2.1.1 什么是数学模型什么是数学模型? ? 所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控 制系统定量分析的基础。 2.1.2 2.1.2 数学模型的特点数学模型的特点 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的
2、微分方程。性能分析性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数放大倍数 2.1.3 2.1.3 数学模型的类型数学模型的类型 1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长 2-1 2-1 数学模型的概念数学模型的概念 2.1.4 2.1.4 数学模型的建立方法数学模型的建立方法 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程 ，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系 统辨识的方法，得到数学模型。 建模原则：选择合适的分析方法建模原则：
3、选择合适的分析方法确定相应的数学模型确定相应的数学模型简化简化 2.2.1 2.2.1 列写微分方程式的一般步骤列写微分方程式的一般步骤 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量输入量、输出量输出量及 内部中间变量中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 忽略一些次要因素，合理简化合理简化。 2.2 2.2 系统微分方程的建立系统微分方程的建立 3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式原始方程式。 4) 列写中间变量的辅助方程辅助方程。 方程数与变量数相等方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。 与与输出输出有
4、关的放在有关的放在左边左边，与，与输入输入有关的放在有关的放在右边右边，导数项按，导数项按降降 阶阶排列，排列，系数系数化为有物理意义的形式。化为有物理意义的形式。 三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv 例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为 输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为 中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，
5、系统处于平衡状态。 K m f F(t) y(t) 2.2.2 2.2.2 机械平移系统举例机械平移系统举例 （3）按牛顿第二定律列写原始方程，即 （5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得 （6）整理方程得标准形 （4）写中间变量与输出量的关系式 K m f F(t) y(t) 2.2.3 2.2.3 电路系统举例电路系统举例 例2-2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以 ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。 令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为 R C ur(t ) uc(t) L 量纲s(课本上有推导,p28)，静态放大倍数
6、1/K 解：（1）确定输入量 为ur(t)，输出量为uc(t)，中 间变量为i(t)。 （4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式: （5）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t ) uc(t) L （2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 （3）由KVL写原始方程： i(t) （6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为 2.2.4 线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具 有以下形式： 式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
7、 （1 1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定； （2 2）左端的阶次比右端的高）左端的阶次比右端的高,n=m,n=m。这是因为实际物理系统均。这是因为实际物理系统均 有惯性或储能元件；有惯性或储能元件； （3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微 分方程式的正确与否。 相似系统的定义相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形 式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。 例2-1 例2-2 令uc=q/C 模拟技术：模拟技术：当分析一个 机械系统或不易进行试 验的系统时，可以建造 一
8、个与它相似的电模拟 系统，来代替对它的研 究。 直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换机电转换装置。装置。 在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压u u a a 在在电枢回路产生电枢回路产生 电枢电流电枢电流i i a a ，再由电枢电流再由电枢电流i i a a 与与激磁磁通相互作用产生电磁转矩激磁磁通相互作用产生电磁转矩MM D D ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。从而使电枢旋转，拖动负载运动。 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过 程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生
9、感应反电势Ea，其大小与 2.2.5 2.2.5 电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机 M Ra ua La ia if=常数 Ea 激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 下面推导其微分方程式。 （1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机 角速度为输出量； （2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时 ，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系； （3）列写原始方程式 电枢回路方程： ua M Ra La i a if=常数 Ea 电动机轴上机械运动方程： J 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩; ML 合
10、到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km ia km 转矩系数，由电动机结构参数确定。 （5）消去中间变量，得 令机电时间常数Tm : 令电磁时间常数Ta : 1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下： 2-22 一阶系统 二阶系统 （2-21） 2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra 、La都可忽略 测速发电机测速发电机 3) 随动系统中，取为输出 4) 在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设 ML=0 一.复习拉氏变换及其性质 1.定义 记 X(s) = Lx(t) 2.进行拉氏变换的条件 1)t 0
11、，x(t)=0；当t 0，x(t)是分段连续； 2)当t充分大后满足不等式 x(t) Mect，M，c是常数。 3.性质和定理 1)线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s) 2-4 2-4 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 2)微分定理 若 ,则 若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时， 3)积分定律 X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理 5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)终值定理 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且 sX(s)除原点为单极
12、点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点 ，则函数x(t)的终值为： 存在，则 6)延迟定理 L x(t )1(t ) = esX(s) Leat x(t) = X(s + a) 7)时标变换 8)卷积定理 4.举例 例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解： 例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。 解： 例2-5 求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。 解： 以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可 查表求得。 例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。 t x(t) 0 A t0 t x1(t) 0 A t x2(t) 0 t0 A + 解：
13、 x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ) 例2-7 求e at 的拉氏变换。 解: 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解： ，求x(0)， x()。 解： 例2-9 若 二二. .复习拉氏反变换复习拉氏反变换 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t) 2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法 部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即 通常m 0，0 1，n = 1/T，T 称为振荡环节的时间常数时间常数， 为阻尼比为阻尼比， n n 为自然振荡频率为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的 共轭极
14、点： 传递函数为： 或 5.二阶振荡环节 微分方程式为： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： 式中， = =coscos 1 1 。响应曲线 是按指数衰减振荡的，故称振 荡环节。 c(t) t 0 1 n p1 p2 jd n j 0 举例：举例：RLCRLC串连电路，平移系统，直流电机串连电路，平移系统，直流电机 6.6.延迟环节延迟环节 微分方程式为： c(t) = r(t ) 传递函数为： 单位阶跃响应： c(t) = 1(t ) r(t) t 0 1 c(t) t 0 1 无理函数的工程近似：无理函数的工程近似： A B 2.7.1 结构图的定义及基本组成 1.结构图的定义 定义定义: 由具
15、有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的 系统的系统的方框图方框图，称为系统的，称为系统的结构图结构图。 2-7 2-7 系统的结构图系统的结构图 下图为下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图方框图可描述其 结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就 可迎刃而解。 放大器电动机 测速机 ur uf ua e +- 转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数 代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态 结构图结构图。 用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定补充了方框中各变量
16、之间的定 量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影 响；响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就 是对系统数学模型的图解表示。 Ka 1/ ke TaTms2+Tms+1 Kf Ur(s) Uf (s) Ua(s) (s) E(s) + P34，ML0 2.结构图的基本组成 1）画图的4种基本元素 信号传递线信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传 递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入 ，从方框出来的表示输出。 r(t), R(s) 分支点分支点 表示信号引出或测量的位置，从同一位置引表示信号引出或测量的位置，从同一位置引 出的信号在数值和性质方面完全相同。出的信号在数值和性质
