根据对流—弥散方程

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1、第六章 地下水运动中的专门问题 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-12 Source: Adapted from Environmental Protection Agency, Office of Water Supply and Solid Waste Management Programs, Waste Disposal Practices and Their Effects on Groundwater (Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 1977). 主要内容 1. 非饱和带中的地下水运动 2. 地下水中

2、的溶质运移（水动力弥散理论） 6.2 水动力弥散理论 1 水动力弥散现象及其机理 先考察一个实例。大致了解一下水动力弥散现象是怎么回事 。 例：若在一口井中瞬时注入某种浓度的一种示踪剂，则在附 近观测孔中可以观察到示踪剂不仅随地下水流一起位移，而且逐 渐扩散开来，超出了仅按平均实际流速所预期到达的范围，并有 垂直于水流方向的横向扩散，不存在突变的界面。 上述事实说明，存在一种特殊的现象。因为如果不存在这种 现象，示踪剂应按水流的平均流速移动；含示踪剂和不含示踪刑 的水的接触界面应该是突变的；示踪剂也不应公横向扩展开来， 即有一个以实际平均流速移动的直立锋面。以上事实说明，在两 种成分不同的可以

3、混溶的液体之间存在着一个不断加宽的过渡带 。这种现象称为水动力弥散。 所谓水动力弥散就是多孔介质中所观察到的两种成分不同的可 混溶液体之间过渡带的形成和演化过程。 水动力弥散是由溶质在多孔介质中的机械弥散和分子扩散所引 起的。这是一个不稳定的不可逆转的过程。兹分述如下。 1）机械弥散 由于速度不均一所造成的物质运移现象称为机械弥散。 由于液体有粘滞性以及结合水对重力水的摩擦阻力，使得最 靠近隙壁部分的(重力)水流速度趋近于零，向轴部流速逐渐增 大，至轴部最大，孔隙的大小不一，造成不同孔隙间轴部最 大流速有差异，孔隙本身弯弯曲曲，水流方向也随之不断改 变，因此对水流平均方向而言，具体流线的位置在

4、空间是摆 动的。 这几种现象是同时发生的，由此造成开始时彼此靠近的示 踪剂质点群在流动过程中不是一律按平均流速运动，而是不 断向周围扩展，超出按平均流速所预期的扩展范围。沿平均 速度方向和垂直它的方向上，都可以看到这种扩展现象。 2）分子扩散 分子扩散是由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起 的一种物质运移现象。浓度梯度使得物质从浓度高的地方 向浓度低的地方运移，以求浓度趋向均一。 分子扩散服从Fick定律。即： 式中： 为该溶质在溶液中的浓度c沿方向s变化的浓度 梯度; 比例系数Dd称为扩散系数，量纲为L2T-1。在浓度低 的情况下，可以认为它是一个与浓度无关的常数。 液体在多孔介质中流动时，

5、机械弥散和分子扩散是同时出现的 ，事实上也不可分。 事实上，“纯”机械弥散不可能存在，但分子 扩散，即使在没有水流运动的情况下也能单独存在。 当流速较大时，机械弥散是主要的；当流速甚小时，分子扩散 的作用就变得很明显。显然，机械弥散和分子扩散都会使溶质既 沿平均流动方向扩展又沿垂直于它的方向扩展。前者称为纵向弥 散，后者称为横向弥散。 除了机械弥散和分子扩散外，某些其它现象也会影响多孔介质 中溶质的浓度分布，如多孔介质中固体颗粒表面对溶质的吸附、 沉淀，水对固体骨架的溶解及离子交换等。此外，液体内部的化 学反应也可导致溶质浓度的变化。 一般来说，溶质浓度的变化会导致液体密度和粘度的变化。这 些

6、变化反过来会影响水流状态，即流速的变化。但在通常情况下 ，这类影响不大，可以忽略。 2 水动力弥散系数 从宏观上来描述弥散现象，亦即将其定义在典型单元体(REV)上 的平均值。机械弥散也能用Fick定律来描述。 多孔介质中的分子扩散描述： IDgradc （6-40） 机械弥散描述： I一Dgradc （6-41） 水动力弥散系数D：D= D+D” （6-40） 式中： D”多孔介质中的分子扩散系数，量纲为L2T-1 ，是 二秩张量；c该溶质在溶液中的浓度； I由于分于扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量。 D机械弥散系数，量纲为L2T-1，也是二秩张量； I由于机械弥散造成的个单位时间内通

7、过单位面积的溶质质量 。 D也是二秩张量。由于水动力弥散在单位时间内通过单位面 积的溶质的质量则为 II 十I-Dgradc。 如果我们选择x轴与该点处的平均流速方向一致，y轴和z 轴则与平均流速方向垂直，则上式也可以写成下列更容易 被我们理解的形式： 或 此时水动力弥散系数张量： （6-43） （6-44） （6-45） 坐标轴方向称为弥散主轴。Dxx称为纵向弥散系数，Dyy ，Dzz称为横向弥散系数。由于弥散主铀的方向依赖于流 速方向，即使在均质各向同性介质中，各点弥散主轴的方 向也会随着水流方向的改变而各不相同。 水动力弥散系数在研究地下水物质运移问题中的意义可 以和渗透系数在研究地下水

8、运动问题中的意义相比拟，是 一个很重要的参数。通过大量在末固结的多孔介质中的实 验，得到了如图6-10所示的曲线。图中，纵坐标是从实验 室得到的纵向弥散系数DL与溶质在所研究的液相中的分子 扩散系数Dd的比值，横坐标是一个无量纲的量： 称为Peclet数。 （6-46） 其中，u为实际平均流速，d为多孔介质的某种特征长度，该 无量纲数表示实际流速和分子扩散系数相比的相对大小， Pe数愈大，表示流速相对愈大。 根据这条曲线的变化情况，大致上可以分五个区。 第I区：实际流速很小，以分子扩散为主，相当于曲线上 寻接近于常数的一段。 第II区：对应的Peclet数Pe约在0.4到5之间，曲线开始向上

9、弯曲，机械弥散已达到和分子扩散相同的数量级。因此， 应当研究两者的和，而不应忽略其中的任何一个。 第III区：物质运移主要由机械弥散和横向分子扩散相结合 而产生。横向分子扩散往往会削弱纵向的物质运移，实验 结果得出DL/Dda(Pe)m，a=0.5，1M1.2。 图6-10 分于扩散和水动力弥散间的关系 (据J. Bear) 第IV区：以机械弥能为主，分子扩散的作用已经可以忽略不计，但流速 尚未达到偏离Darcy定律的程度。本区相当于图中的直线部分。实验给出 于DL/DdBetPe,Bet=1.8。 第V区；仍属于机械弥散为主的区域，与第IV区的区别在于水流速度已 达到越出Darcy定律适用的

10、范围。惯性力和紊流的影响造成纵向物质运移 的减少，曲线斜率减缓。 上述曲线说明，弥散系数和水流速度、分子扩散有关。 式中： 机械弥散系数，为一个二秩对称张量，这是它的一个分量； 多孔介质的弥散度，为一四秩张量；在饱和流动中它反映 多孔介质固体骨架的几何性质，量纲为L； u 实际平均流速，uk，um分别为它在坐标轴xk、xm上的分量； 表示水流通道形状持征的系数，无量纲； (6-47) 在微观水平上考虑相邻流线之间内分子扩散所引起的对物 质运移影响的因数，这个影响和机械弥散是不可分的。 Pe较大时，由f(Pe, d )的表达式可以看出，f(Pe, d )1。对 于大多数实际问题来说，都属于这种情

11、形，总是假定， f(Pe, d )1。 如果在某一点上选择坐标轴，使得其中一个坐标油(如f轴) 祁该点处的平均流速方向一致(即弥散主轴)，并忽略分子 扩散，f(Pe, d)1，则： （6-48） 上式中，aL，aT分别称为纵向弥散度和横向弥散度。纵向机械 弥散系数 和横向机械弥散系数 ，及 称为弥散系数的 主值。由于弥散主轴依赖于水流方向，所以除了均匀流（ux 常数，uy =uz =0）以外，一般说来即使在各向同性介质中各点 的弥散系数也各不相同，随空间位置而变化。 表6-1 典型的水动力弥散系数值 （环境质量评价，马债如、程声通等编，1990） 表6-2 典型的分子扩散系数 3 对流弥散方程

12、及其定解条件 考虑由某种溶质和溶剂组成的二元体系。以充满液体的渗流 区内任点p为中心，取一无限小的六面体单元，各边长为 x、 y和 z，选择x轴与p点处的平均流速方向一致，来研究该单元 中溶质的质量守恒。 水动力弥散所引起的物质运移。在t时间内，由于弥散和 水流运动所引起的单元体内总的溶质质量变化量和在t时间内， 单元体内溶质的浓度所引起的该单元体中溶质质量相等。即： 上式称为对流一弥散方程(水动力弥散方程)。它右端后三项表示 水流运动(习惯地把它喻为对流)所造成的溶质运移，前三项表示 水动力弥散所造成的溶质运移。 （6-49） 如果还有化学反应或其它原因所引起的溶质质量变化，且 单位时间单位

13、体积含水层内由此而引起的溶质质量的变化 为f，则应把它加到方程式的右端，有： 要确定一个水动力弥散问题的解，即求得浓度的分布，还 要给出下列信息： 研究空间 和时间区间0，T； 研究区域水头场的分布； 有关参数，如弥散度aL和aT等； （6-50） 定解条件。 初始条件给出初始时刻(t0)区域上的浓度分布，即： c(x,y,z,0)= c0(x,y,z) （6-51） c0是已知函数。 边界条件通常有二种类型。一种是已知浓度的边界条件，即 ： 0tT 式中， 为研究区的边界， 是已知函数。 另一种是已知单位时间内通过边界单位面积的溶质质量的 边界条件。在三维条件下，形式复杂，不易理解。 (6-

14、52) 兹以一维问题的几种常见例子具体说明如下。 (1) 多孔介质a的边界外为另一多孔介质b，根据单位时间通过 边界的溶质的质量要保持连续的原则，当渗透速度为v时 有： (2) 如边界为隔水边界，则通过边界的流量和溶质的量均为 零，由上式 及v0 得边界 G2 上有边界 条件： (6-54) (6-53) 4 一维弥散问题的解 考虑流速方向与x轴方向一致的半无限一维均匀流的情况 ，示踪剂连续注入，纵向弥散系数DxxDL在均匀流情况 下不随坐标x而变化，uxu为常数，一维情况下(6-49)式 化为: 同时有定解条件： （6-55） (6-56) 当x/aL足够大时，该定解问题的解为 利用(6-57)式可以求得任意时刻t，任意距离x处的相对浓度cR。 因为示踪剂浓度c0是已知的，即可求得该处的浓度c(x, t)。反之， 也可利用实验室或野外的一维弥散的实际观测资料，求出纵向弥散 系数DL，因为流速u已知，也可以算出纵向弥散度aL。 根据对流弥散方程，在适当的初始条件、边界条件下求得的 解，可以用来预报地下水中污染物的时、空分布。其结果和实验室 的实验结果，一般也拟合得很好。 但应用于野外试验时，却发现利用对流弥散方程反求得的弥 散度值要比实验室实验所得的值大几个数量级，而且弥散度值看来 和污染物分布的范围有关，随着它的增大而增大(称为尺度效应)。 (6-57)