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1、S4 S3 S2 S1 图 1 L 3 2 1 勾股定理中的数学思想勾股定理中的数学思想 勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的 特征.同学们在学习时,不仅要灵活运用该定理及逆定理,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富 的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析,供同学们参 考. 一、数形结合思想一、数形结合思想 例例 1.1. 在直线 L 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示),已知斜放置的三个正方形的面 积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4,则 S1+S2+S3+S4= . 分析分析:经过
2、观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S1+S2=1;S2+S3=2; S3+S4=3;这样数形结合可把问题解决. 解解: S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方, S2代表的面积为 S2的正方形边长的平方,所 以 S1+S2=斜放置的正方形面积为 1;同理 S3+S4=斜放置的正方形面积为 3,故 S1+S2+S3+S4=1+3=4. 二、转化思想二、转化思想 例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是 5cm,一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少? 分析:蚂蚁实
3、际上是在长方体的侧面上爬行,如果将长方体的侧面展开(如图 2-1),根据“两点之间线段最短.” 所以求得的路径就是侧面展开图中线段 AC 之长,但展开方 式有 3 种,这样通过侧面展开图把立体图形转化为平面图形,构造成直角三角形,利用勾股定理 便可求解. 2 解:如图所示,把长方体展开后得到如图 2-1、图 2-2、图 2-3 三种情形,蚂蚁爬 行的路径为展开图中的 AC 长,根据勾股定理可知: 在图 2-1 中,AC 2 =AB 22 BC=30 22 5=925 图 2-2 中, AC 2 =AD 22 CD=20 22 15=625 图 2-3 中, AC 2 = AD 22 CD=25
4、 22 10=725 于是,根据上面三种展开情形中的 AC 长比较,最短的路径是在图 2-2 中,故蚂蚁从 A 点爬 行到点 C,最短距离为 25cm. 三、三、方程思想方程思想 例 3. 如图 3,铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 两点为村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B， 已知 DA=15km，CB=10km。现在要在铁路 AB 上建一个农贸市场 E，使得 C、D 两村到农贸市场 E 的距离相等，则农贸市场 E 应建在距 A 站多少 km 处？ 图 3 E D C B A 分析：这是一个实际生活中的问题，从图中可以看出，如果单独解直角三角形，这时条 件不够，根据题意，不妨把
5、两个直角三角形同时考虑进去，设未知数，如果设 AE=x，结合勾 股定理，抓住等量关系“DE=CE”列出方程就可以解决问题了。 解：设 AE=x km，由勾股定理得，15)25(10 2222 xx 解此方程得 x=10 故农贸市场 E 应建在铁路上离 A 站 10km 处。 四、四、分类讨论思想分类讨论思想 例 4. 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12,求第三边长. 分析:已知直角三角形的两边的长度,并没有指明哪一条边是斜边,因此要分类讨论. 解:(1)当 5 和 12 均是直角边时,则由勾股定理可得斜边的长度为 22 125 =13; 3 k J H G F E D C BA D C
6、 B A (2)当 5 是直角边,12 是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为119512 22 . 综合(1)、（2）得第三边的长为 13 或119。 试一试试一试( (供同学们练习）供同学们练习） 1.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5610(单位：)， 在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13， 小孔到图中边 AB 距离为 1，到上盖 中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为 h，则 h 的最小值大约 为_.（精确到个位） 参考数据：21.4, 31.7, 52.2） 2. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4/,高为 3,若一只小虫从
7、 A 点出发沿着圆柱的侧 面 爬行到点 C,则小虫爬行的最短路程是 . 答案:5 3. 如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方 形 ACEF,再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去 (1)记正方形 ABCD 的边长为, 1 1 a依上述方法所作的正方形的边长依次为,., 432n aaaa 求出 432 aaa，的值. (2)根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an的表达式 4 答案提示： (1),)2(,)2(,)2( 2 3 1 2 0 1 aaa a4=( 3 )2; (2)a 1 )2( n n (n1 的自然数)
