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1、1,电磁场与电磁波总复习,2,第1章 矢量分析,3,要求： 1、掌握三种坐标的建立 2、能写出三种坐标的梯度、散度和旋度， 以及三度的性质。 3、掌握散度定理和斯托克斯定理。,4,1 三种常用的正交曲线坐标系,在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。,1. 直角坐标系,位置矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,5,2. 圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,线元矢量,体积元,圆柱坐标系中的线元、面元和体积元,6,3. 球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,线元矢量,体积元,球坐标系中的线元、面元和体积元,7,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直
2、角坐标系,1. 标量场的梯度（ 或 ）,意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,概念： ，其中 取得最大值的方向,2 三种坐标系的三度,8,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,2、散度的表达式：,9,10,11,1. 散度定理（高斯定理）,从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,3 两定理,12,2. 斯托克斯定理,斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿
3、任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,13,第2章 电磁场的基本规律,14,要求掌握： 1、电流密度矢量、电荷守恒定律（电流连续性方程）的积 分和微分形式。 2、静电场的高斯定理和环路定理的积分和微分形式（散度 和旋度）. 3、静磁场的高斯定理和环路定理的积分和微分形式（散度 和旋度）. 4、媒质的电磁特性：极化、磁化和导电的物理量。 5、电磁感应定律和位移电流。 6、麦克斯韦方程组和本构关系 7、电磁场的边界条件,注： 例2.4.1、例2.4.2、例2.4.3、例2.5.3 例2.5.4 例2.7.1及补充作业要求掌握.,15,16,17,例2.2.2 求真空中
4、均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。,解：（1）电荷分布具有球对称性，其场也有球对称性，建立球坐标系。如图取同心球面为高斯面，根据高斯定理得：球外某点的场强,18,（2）求球体内一点的场强,由,19,20,在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。,3. 利用安培环路定理计算磁感应强度,21,解 分析知场分布具有轴对称性，选用圆柱坐标系，则,应用安培环路定理，得,例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,取安培环路 ，交链的电流为,22,应用安培环路定理，得,23,24,25,二、 磁介质的磁化及其磁化的物理量,1、磁化强度矢
5、量,2. 磁化电流密度矢量,3. 磁场强度矢量 介质中的安培环路定理,4. 磁介质的本构关系,定义磁场强度 为：,（积分形式）,（微分形式）,26,27,三、媒质的传导特性,对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比，表示为,这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米=1/欧姆米）。,存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。,28,2.5 麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式,29,例 2.5.3 海水的电导率为4 S/m ，相对电容率为 81 ，求频率为1 MHz
6、时，位移电流密度振幅与传导电流密度振幅的比值。,解：设电场随时间作正弦变化，表示为,则位移电流密度为,其振幅值为,传导电流的振幅值为,故,30,式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。,例 2.5.4 自由空间的磁场强度为,解 自由空间的传导电流密度为0，故由式 , 得,31,2.7 边界条件一般表达式,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,32,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,33,例2.7.1 z 0 区域的媒质参数为 。若媒质1中的电场强度为,媒质2中的电场强度为,（1）试确定常数A的值;（2）求磁
7、场强度 和 ； （3）验证 和 满足边界条件。,解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有,34,利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件,得到,将上式对时间 t 积分，得,（2）由 ，有,35,可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（z = 0）不存在面电流。,（3）z = 0 时,同样，由 ，得,36,第3章 静态电磁场及其边值问题的解,37,要求掌握： 1、静电场分析:电位及其微分方程、边界条件；静电 场的能量。 2、掌握恒定磁场的矢量磁位和标量磁位，恒定磁场的 能量。 3、镜像法的基本原理及掌握几种类型求解。,注：镜像法的三种
8、题型及22、24（1）、26的作业要掌握,38,2. 边界条件,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程,积分形式：,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,若分界面上不存在面电荷，即 ，则,39,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件,40,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。,1. 电位函数的定义,3.1.2 电位函数,2. 电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,41,在均匀介质中，有,3. 电位的微分方程,在无源区域，,42,4. 静电位的边界条件
9、,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,导体表面上电位的边界条件：,由 和,若介质分界面上无自由电荷，即,43,3.1.4 静电场的能量,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,44,例3.1.6 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解： 方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,45,3.3 恒定磁场分析,微分形式:,1. 基本方程,2. 边界条件,本构关系：,若分界面上不存在面电流，即JS0，则,积分形式:,3.3.1 恒
10、定磁场的基本方程和边界条件,46,矢量磁位的定义,磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即,由,即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。,磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定 ，并称为库仑规范。,1. 恒定磁场的矢量磁位,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位,47,2. 恒定磁场的标量磁位,一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J0）的单连通空间 中，则有,即在无传导电流（J0）的单连通空间中，可以引入一个标量位函数来
11、描述磁场。,标量磁位的引入,磁标位的微分方程,将 代入,48,3.3.4 恒定磁场的能量,磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,49,例3.3.8 同轴电缆的内导体半径为a ，外导体的内、外半径分别为 b 和 c ，如图所示。导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量。,解：由安培环路定理，得,50,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,51,单位长度内总的磁场能量为,52,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有
12、惟一值。,惟一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,惟一性定理的表述,53,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1. 问题的提出,几个实例,3.5.1 镜像法的基本原理,接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,非均匀感应电荷,等效电荷,3.5 镜像法,54,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近
13、有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,55,2. 镜像法的原理,用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。,在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟
14、一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。,3. 镜像法的理论基础 解的惟一性定理,56,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” 。,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,57,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,3.5.2 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因 z = 0 时，,有效区域,58,
15、上半空间( z0 ）的电位函数,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,59,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。,显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。,电位函数,60,3.5.3 导体球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。 q 应位于导体球内（因为 不可影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和 q。,问题：,61,令 ra，由球面上电位为零， 即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,条件：若,由于,62,球外的电位函数为,63,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d a )。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。镜像电荷应位于导体球壳
